Hola,
1) Demostración de que no es posible: \( x^2=a^2+b^2 \) \( \wedge \) \( y^2=a^2-b^2 \) , para " \( a,b,x,y \) " enteros, \( (a,b)=1 \) \( \wedge \) " \( b \) " par.
Supongámoslo.
1.1) \( a^2=y^2+b^2 \) . Y sus ternas pitagóricas solución serán: \( a=c^2+d^2 \) , \( y=c^2-d^2 \) , \( b=2cd \) ; para: \( c,d \) enteros, \( (c,d)=1 \) \( \wedge \) " \( d \) " , por ejemplo, par.
1.2) \( x^2-y^2=2b^2 \) \( \Rightarrow \) \( x^2=2b^2+y^2\,=\,\color{red}(y+\sqrt{-2}b)\,(y-\sqrt{-2}b) \) .
Sabemos
(*) que el anillo de los enteros \( \mathbb{Z}[\sqrt{-2}] \) es un dominio euclídeo y que sus unidades son: \( \pm 1 \) . De la suma y la diferencia de estos 2 factores: \( \color{red}y+\sqrt{-2}b+y-\sqrt{-2}b\,=\,2y \) \( \wedge \) \( \color{red}y+\sqrt{-2}b-y+\sqrt{-2}b\,=\,2\sqrt{-2}b \) ; se deduce que son coprimos -puesto que \( 2\sqrt{-2}b \) es un factor de \( \mathbb{Z}[\sqrt{-2}] \)- ; salvo por " \( 2 \) " ; pero " \( 4 \) " no divide á " \( x^2 \) " , que es impar; por lo que no tienen este factor. Luego son efectivamente coprimos y serán cuadrados; existiendo un: \( \pm (\sqrt{-2}r+s)^2=\sqrt{-2}b+y \) , para: \( r,s \) enteros, \( (r,s)=1 \) \( \wedge \) \( \color{red}r\not\equiv \)
s mod \( \color{red}2 \) .
Tomemos sin perder generalidad la unidad \( +1 \) . Entonces: \( -2r^2+s^2+2rs\sqrt{-2}=\sqrt{-2}b+y \) . Y unificando por coeficientes: \( y=s^2-2r^2 \) \( \wedge \) \( b=2rs \) .
Luego " \( \color{red}s \) " no puede ser par, puesto que " \( y \) " es impar -y-: \( \pmb{y=c^2-d^2\,=\,s^2-2r^2} \) \( \wedge \) \( \pmb{b=2cd\,=\,2rs} \) . Como: “ \( cd=rs \) “ -y- no representan individualmente lo mismo. No pierdo generalidad si establezco que: \( c=c_1c_2 \) , \( d=d_1d_2 \) \( \wedge \) \( r=c_1d_2 \) , \( s=c_2d_1 \) ; para \( c_1 \) \( \wedge \) \( c_2 \) enteros y coprimos y \( d_1 \) \( \wedge \) \( d_2 \) enteros y coprimos, uno de ellos par; que será: " \( d_2 \) " , pues hemos establecido que " \( d \) " -y- " \( r \) " son pares.
1.3) \( s^2+d^2=c^2+2r^2 \) . Entonces: \( c_2^2d_1^2+d_1^2d_2^2=c_1^2c_2^2+2c_1^2d_2^2 \) \( \wedge \) \( d_1^2(c_2^2+d_2^2)=c_1^2(c_2^2+2d_2^2) \) . Por lo que: \( c_2^2+2d_2^2=kd_1^2 \) \( \wedge \) \( c_2^2+d_2^2=kc_1^2 \) . Ahora sustituimos: \( c_2^2=kc_1^2-d_2^2 \) en: \( kc_1^2-d_2^2+2d_2^2=kd_1^2 \) \( \wedge \) \( d_2^2=k(d_1^2-c_1^2) \) . Pero " \( k \) " no divide á " \( d_2^2 \) " porque tampoco dividía á " \( c_2^2 \) " . Luego: \( k=1 \) .
1.4) \( c_2^2+d_2^2=c_1^2 \) . Y dos de sus ternas pitagóricas serán: \( c_2=t^2-u^2 \) \( \wedge \) \( d_2=2tu \) , para: \( t,u \) enteros, \( (t,u)=1 \) \( \wedge \) \( t\not\equiv \) u mod \( 2 \) .
Por otra parte: \( c_2^2+2d_2^2=d_1^2 \) \( \Rightarrow \) \( d_1^2=(\sqrt{-2}d_2+c_2)\,(\sqrt{-2}d_2-c_2) \) . Y existirá, por lo que hemos visto antes, un: \( \pm(\sqrt{-2}v+w)^2=\sqrt{-2}d_2+c_2 \) . Y : \( c_2=w^2-2v^2 \) \( \wedge \) \( d_2=2vw \) , para: \( v,w \) enteros, \( (v,w)=1 \) \( \wedge \) \( v\not\equiv \) w mod \( 2 \) .
De esta manera: \( \pmb{c_2=t^2-u^2\,=\,w^2-2v^2} \) \( \wedge \) \( \pmb{d_2=2tu\,=\,2vw} \) . Siendo “ \( \pmb{d_2} \) “ claramente menor que “ \( \pmb{b} \) “ . Y pudiendo repetir este razonamiento sin fin.
2) Demostración de que no es posible: \( \pmb{z^4=x^4+y^4} \) ; para \( x,y,z \) enteros, coprimos dos a dos y que \( x\not\equiv \) y mod \( 2 \) .
2.1) \( (z^2)^2=(x^2)^2+(y^2)^2 \) y dos de sus soluciones en forma de ternas pitagóricas serán:
\( z^2=p^2+q^2 \) \( \wedge \) \( y^2=p^2-q^2 \) , para \( p,q \) coprimos -y- " \( q \) " par. Puesto que si " \( p \) " fuera par; \( y^2 \) sería \( -1 \) mod \( 4 \) , lo que no puede ser.
2.2) Por 1) es falso.
CORREGIDO tras las indicaciones de Luis Fuentes en posteriores respuestas.Un saludo,