Buen día, hice este ejercicio de función compuesta, creo que debe estar bien, pero me pide calcular las ecuaciones asíntotas de gof, y es lo que tengo dudas si lo hice bien. Podrían revisarlo y decir que les parece.
\( f(x)=ln\left |{x+2}\right | \) Por tener modulo lo abro y me queda\( f(x) = \left \{ \begin{matrix} ln (x+2) & \mbox{si }n\mbox{ x>-2}
\\ ln(-x-1) & \mbox{si }n\mbox{ x<-2}\end{matrix}\right. \) sigo con dominio e imagen de f
\( \textrm{Dom} f:\mathbb{R}-{\left \{ -2 \right \}} \)
\( \textrm{Im} f:\mathbb{R} \)
\( g(x)=( \frac{1}{x} ) \) dominio e imagen de g
\( Dom\,g:\mathbb{R}-{\left \{ 0 \right \}} \)
\( Im\,g:\mathbb{R}-{\left \{ 0 \right \}} \)
Al hacer \( g\circ f \) la imagen de f no esta incluido en el dominio de g, entonces corrijo el dominio de f para que quede igual la imagen de f en el dominio de g.
domf* \( \mathbb{R}-\left \{ -1,-2,-3 \right \} \)
\( Dom\, gof :\mathbb{R}-{\left \{ -1,-2,-3 \right \}} \)
\( Im\, gof:\mathbb{R} \)
\( gof(x) = \begin{cases} \frac{1}{ln (x+2)} & \mbox{si } x>-2
\\ \frac{1}{ln (-x-2)} & \mbox{si } x<-2\end{cases} \)
Esto seria el resultado.
Luego me pide calcular sus asintotas
\( \displaystyle\lim_{x \to{-}\infty}{{\frac{1}{ln (-x-2)}}}=0 \)
\( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{{\frac{1}{ln (x+2)}}}=0 \)
\( y=0 AH \) asintota horizontal
\( \displaystyle\lim_{x \to{}-2}{\frac{1}{ln (x+2)}}=\infty \)
\( x=-2 AV \) asintota vertical
\( \displaystyle\lim_{x \to{}-1}{\frac{1}{ln (x+2)}}=\infty \)
\( x=-1 AV \) asintota vertical
\( \displaystyle\lim_{x \to{}-3}{\frac{1}{ln (-x-2)}}=\infty \)
\( x=-3 AV \) asintota vertical
Entonces gof(x) tiene 3 asintotas verticales \( x=-1,x=-2,x=-3 \) y 1 asintota horizontal \( y=0 \)
Muchas gracias por leer.
