[AlexSV]

Buenas, estoy ante un problema que me dice lo siguiente.
Dos parametrizaciones naturales de una curva \( \vec{x}(s) \) y \( \vec{\tilde{x}}(s) \) (donde s es la longitud de arco) difieren entre sí en un movimiento rígido de forma que \( \vec{\tilde{x}}(s)=M\vec{x}(s)+\vec{c} \), donde M (matriz de rotación) representa una matriz ortogonal con \( det(M)=1 \) y \( \vec{c} \) representa una traslación en el espacio.
Ahora, considerando que:
\( \vec{t}(s)=\vec{x^{\prime}}(s) \)
\( \vec{n}(s)=\vec{t^{\prime}}(s) \)
\( \vec{b}(s)=\vec{t}(s)\wedge\vec{n}(s) \)
Y la misma relación se puede aplicar para las \( \vec{\tilde{x}}(s) \).
Sabemos que:
\( \vec{\tilde{t}}(s)=M\vec{t}(s) \)
\( \vec{\tilde{n}}(s)=M\vec{n}(s) \)
Me pide demostrar que \( \vec{\tilde{b}}(s)=M\vec{b}(s) \) utilizando:
\( (\vec{v}\wedge\vec{w})_i=\displaystyle\sum_{j,k=1}^3 \varepsilon_{ijk}v_jw_k \)
\( \displaystyle\sum_{i,j,k=1}^3 \varepsilon_{ijk}M_{ia}M_{jb}M_{kc}=det(M)\varepsilon_{abc} \)
\( \displaystyle\sum_{a=1}^3 M_{ia}M_{ja}=\delta_{ij} \)
Donde \( \varepsilon_{ijk} \) es el tensor de Levi-Civita y \( \delta_{ij} \) es la delta de Kronecker.

Esto es lo que nos da el ejercicio, yo lo que he llegado a hacer es lo siguiente:
Utilizando \( (\vec{v}\wedge\vec{w})_i=\displaystyle\sum_{j,k=1}^3 \varepsilon_{ijk}v_jw_k \) y que \( (M\vec{v}(s))_i=\displaystyle\sum_{j=1}^3 M_{ij}v_j \) llego a que:
Por un lado \( (\vec{\tilde{b}}(s))_i=\displaystyle\sum_{j,k=1}^3 \varepsilon_{ijk}(\displaystyle\sum_{a=1}^3 M_{ja}t_a)(\displaystyle\sum_{b=1}^3 M_{kb}n_b) \)
Y por otro lado que \( (M\vec{{b}}(s))_i=\displaystyle\sum_{l=1}^3 M_{il}\displaystyle\sum_{j,k=1}^3 \varepsilon_{ljk}t_jn_k \)

Sé que estás expresiones tienen que ser eqiuvalentes, pero no veo como llegar de una a otra utilizando los medios que me dan.

[Luis Fuentes]

Hola

Ten en cuenta que también:

\( \displaystyle\sum_{a,b,c=1}^3 \varepsilon_{abc}M_{ai}M_{bj}M_{ck}=\underbrace{det(M^t)}_1\varepsilon_{ijk} \)

Entonces desde aquí:

\( (M\vec{{b}}(s))_i=\displaystyle\sum_{l=1}^3 M_{il}\displaystyle\sum_{j,k=1}^3 \varepsilon_{ljk}t_jn_k \)

tienes:

\( (M\vec{{b}}(s))_i=\displaystyle\sum_{l=1}^3 M_{il}\displaystyle\sum_{j,k=1}^3 t_jn_k\displaystyle\sum_{a,b,c=1}^3 \varepsilon_{abc}M_{al}M_{bj}M_{ck}=\\
=\displaystyle\sum_{j,k=1}^3 t_jn_k\displaystyle\sum_{a,b,c=1}^3 \varepsilon_{abc}M_{bj}M_{ck}\underbrace{\displaystyle\sum_{l=1}^3M_{al} M_{il}}_{\delta_{ai}}=\\
\displaystyle\sum_{j,k=1}^3 t_jn_k\displaystyle\sum_{b,c=1}^3 \varepsilon_{ibc}M_{bj}M_{ck} \)

Cambiando los nombres:

\( j\to b,\quad k\to c,\quad b\to j,\quad  c\to k \)

Llegas a la otra expresión:

\( (\vec{\tilde{b}}(s))_i=\displaystyle\sum_{j,k=1}^3 \varepsilon_{ijk}(\displaystyle\sum_{a=1}^3 M_{ja}t_a)(\displaystyle\sum_{b=1}^3 M_{kb}n_b) \)

Saludos.

[AlexSV]

Muchas gracias, es justo lo que no era capaz de ver.