Darío, cuando estudies, intenta razonar las cosas, porque, si no, se olvidan; o al menos intenta hacerlo con lo que es fácil. Si no lo haces así, tienes que estar repasando todo cada vez que retomas el estudio. A quien está todo el día con las matemáticas porque es su profesión o parte de ella, no le pasará tanto, pero a quien no sí que le ocurre.
La idea de proporción es muy sencilla, la puedes entender como na comparación y recordarla con un ejemplo sencillo; pensar en el doble de un número, de un tamaño... o lo que sea, es lo más simple: \( \dfrac{8}{4}=2
\) significa que 8 es el doble de 4, es lo que dice ese “igual dos”. Cuando el resultado se menor que 1, lo puede entender como que el de abajo es tantas veces más grande que el de arriba; así, análogamente, \( \dfrac{4}{8}=0,5
\), es decir, el de arriba es la mitad que el de abajo. Otro ejemplo, \( \dfrac{3}{4}=0,6
\); como empieza por “cero coma”, el de arriba es más pequeño y, para guiarte, puedes analizar el valor del inverso \( \dfrac{4}{3}=1,333...
\); así ves que aquí, \( \dfrac{3}{4}
\), el que está abajo es 1,333... veces más grande que de el arriba.
En el caso de la circunferencia ocurre igual, una circunferencia (entera) tiene un ángulo determinado, pero ese ángulo se puede medir partiéndolo de distintas maneras: en grados sexagesimales, en radianes... o incluso en una medida arbitraria que se pueda inventar uno. Pero, se mida como se mida, siempre será en ángulo completo de una circunferencia: una (el número 1) circunferencia, por tanto, será equivalente, del mismo modo que 100 centímetros miden lo mismo que un metro.
Por tanto, \( 360^{o}=2\pi
\).
Ahora, si tomas, por ejemplo, la mitad de 360, tienes 180; entonces, \( \dfrac{360}{180}=2
\); arriba los grados de toda la circunferencia y abajo la mitad y nos da 2, diciendo eso, que lo de arriba es el doble de “grande”. si lo hacemos con radianes, análogamente tenemos \( \dfrac{2\pi}{\pi}=2
\). Luego si \( 360^{o}=2\pi
\) y la proporción en esas fracciones es la misma, entonces podremos escribir Por tanto, \( \dfrac{360}{180}=\dfrac{2\pi}{\pi}
\), porque 2=2, como es obvio. Del mismo modo funcionará con las inversas \( \dfrac{180}{360}=\dfrac{\pi}{2\pi}=\dfrac{1}{2}
\).
Por tanto, lo mismo podré hacer si son 180 grados que 20 que los que sean.
...
Para la función seno y coseno imagina un triángulo rectángulo con el cateto “a” de la altura y el cateto “b” de la base cortándose en ángulo de 90 grados.
Ya ves que da igual cómo lo orientes en el espacio; ya lo coloques de una manera u otra, te guías por los catetos, el ángulo de 90 grados (o sea, el ángulo recto) y el ángulo de enfrente.
El seno es simplemente la proporción entre la altura y la hipotenusa: \( \dfrac{a}{h}=sen(\mathfrak{a})
\)
Así que al estar la altura arriba en la fracción, en el numerador, como siempre es menor o igual que la hipotenusa, el resultado nunca puede ser mayor que 1; esto de momento.
Si “h” fuera el doble que “a” (o lo que es decir lo mismo, si “a” fuera la mitad que “h”) a mí me daría igual medirlo en radianes, grados, o farmuños griegos, el doble siempre es el doble, lo mida en lo que lo mida; y lo mismo pasa para el triple o la proporción que sea.
Por tanto, seno de 180 grados, por ejemplo, dará el mismo valor que \( sen(\pi)
\), porque al ser \( 180^{0}\text{=\ensuremath{\pi}}
\), el triángulo rectángulo tiene una hipotenusa igual de larga en una medida que en otra; y lo mismo con la altura, también será igual. Por tanto, el seno, es decir, la proporción \( \dfrac{a}{h}
\), no tiene nada que ver con medidas; para resumirlo finalmente, un elefante puede ser el doble de grande que otro elefante; y lo mismo si hablamos de dos pulgas una el doble que otra, la proporción en ambos casos es 2, el numerito de es el mismo.
Ya se dedique uno a las matemáticas o lo que sea, distinguir entre una media y una razón es fundamental, los números representan cosas muy distintas.
Saludos.
