[NuriaA]

Hola acabo de registrarme en el foro y este es mi primer mensaje.

En el siguiente razonamiento, ¿dónde estoy cometiendo un error?

Sabemos que \( i^2= -1 \), por lo que:

\( -1 = i^2 = i\cdot i = \sqrt{-1}\cdot \sqrt{-1} = \sqrt{(-1)\cdot(-1)} = \sqrt{1} = 1, \)

llegando a la contradicción \( -1=1 \). ¿Dónde estaría el error?

[Fernando Revilla]

Bienvenida al foro.

Sabemos que \( i^2= -1 \), por lo que: \( -1 = i^2 = i\cdot i = \sqrt{-1}\cdot \sqrt{-1} = \sqrt{(-1)\cdot(-1)} = \sqrt{1} = 1, \) llegando a la contradicción \( -1=1 \). ¿Dónde estaría el error?

Grosso modo:

        \( \sqrt{-1}\sqrt{-1}=\left\{{i,-i}\right\}\cdot \left\{{i,-i}\right\}=\left\{{-1,1}\right\}. \)
        \( \sqrt{(-1)(-1)}=\sqrt{1}=\left\{{-1,1}\right\}. \)

Es fácil por tanto encontrar una aparente contradicción eligiendo los elementos de dos conjuntos iguales que a uno le convenga. 

P.D. Existen otras formas de analizar el asunto. Seguramente otros usuarios lo expondrán.

[NuriaA]

Muchas gracias Fernando.

Estaría interesante ver otra forma de analizar el problema. Me quedo esperando más respuestas.

Saludos,

Nuria.

[AlexFeynman]

Hola.

Supongo que el error es el uso de la propiedad  \( \sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab} \)  cuando \( a,b<0 \).

[NuriaA]

Hola.

Supongo que el error es el uso de la propiedad  \( \sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab} \)  cuando \( a,b<0 \).

Entonces, si entiendo bien... uniendo tu respuesta con la de Fernando, si \( a\cdot b<0 \) (si uno de los dos es menor que cero), entonces la igualdad
\( \sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab} \)
debería entenderse como una igualdad entre conjuntos con más de un elemento, por lo que hay que tener cuidado (como menciona Fernando). ¿Es así?

[Fernando Revilla]

Entonces, si entiendo bien... uniendo tu respuesta con la de Fernando, si \( a\cdot b<0 \) (si uno de los dos es menor que cero), entonces la igualdad \( \sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab} \) debería entenderse como una igualdad entre conjuntos con más de un elemento, por lo que hay que tener cuidado (como menciona Fernando). ¿Es así?

Así es. Pero también y en orden a ser estrictos se debería considerar como igualdad de conjuntos incluso si ambos son positivos. Por ejemplo,

        \( \sqrt{1}\sqrt{1}=\left\{{1,-1}\right\}\cdot \left\{{1,-1}\right\}=\left\{{1,-1}\right\}=\sqrt{1}=\sqrt{1\cdot 1}. \)

[manooooh]

Hola a todos

Fernando, antes que nada muy interesante tu intento de esclarecer las aguas.

¿Cómo llegás a estas igualdades?:

\( \sqrt{-1}\sqrt{-1}=\left\{{i,-i}\right\}\cdot \left\{{i,-i}\right\}=\left\{{-1,1}\right\}. \)

\( \sqrt{(-1)(-1)}=\sqrt{1}=\left\{{-1,1}\right\}. \)

\( \sqrt{1}\sqrt{1}=\left\{{1,-1}\right\}\cdot \left\{{1,-1}\right\}=\left\{{1,-1}\right\}=\sqrt{1}=\sqrt{1\cdot 1}. \)

Entiendo que estás realizando un producto (¿interno, externo?) de conjuntos, cosa que es nueva para mí.

Pero creo que la regla que seguís es que dados \( a,b\in\Bbb{R} \):

\( \underbrace{\{a,-a\}}_{\pm\sqrt{a}}\cdot\underbrace{\{b,-b\}}_{\pm\sqrt{b}}=\underbrace{\{a\cdot b,-a\cdot(-b)\}}_{\pm\sqrt{a\cdot b}}, \)

¿es correcto?

De ser así, me parece muy interesante. ¿Qué estructura alcanza? Semigrupo parecería ser, grupo no sé. Tampoco sé si puede ser una red, o un Álgebra de Boole...

Gracias.

Saludos

[Fernando Revilla]

Spoiler

Hola a todos

Fernando, antes que nada muy interesante tu intento de esclarecer las aguas.

¿Cómo llegás a estas igualdades?:

\( \sqrt{-1}\sqrt{-1}=\left\{{i,-i}\right\}\cdot \left\{{i,-i}\right\}=\left\{{-1,1}\right\}. \)

\( \sqrt{(-1)(-1)}=\sqrt{1}=\left\{{-1,1}\right\}. \)

\( \sqrt{1}\sqrt{1}=\left\{{1,-1}\right\}\cdot \left\{{1,-1}\right\}=\left\{{1,-1}\right\}=\sqrt{1}=\sqrt{1\cdot 1}. \)

Entiendo que estás realizando un producto (¿interno, externo?) de conjuntos, cosa que es nueva para mí.

Pero creo que la regla que seguís es que dados \( a,b\in\Bbb{R} \):

\( \underbrace{\{a,-a\}}_{\pm\sqrt{a}}\cdot\underbrace{\{b,-b\}}_{\pm\sqrt{b}}=\underbrace{\{a\cdot b,-a\cdot(-b)\}}_{\pm\sqrt{a\cdot b}}, \)

¿es correcto?

De ser así, me parece muy interesante. ¿Qué estructura alcanza? Semigrupo parecería ser, grupo no sé. Tampoco sé si puede ser una red, o un Álgebra de Boole...

Gracias.

Saludos

[cerrar]

No hace falta complicarse tanto. Para \( A,B \) subconjuntos de \( \mathbb{C} \) se define \( A\cdot B=\{ab:a\in A,b\in B\} \). Para \( z\in \mathbb{C} \) se define \( \sqrt{z}=\{\alpha \in\mathbb{C}:\alpha^2=z\} \). Sabemos que si \( r\in \sqrt{z} \), entonces \( \sqrt{z}=\{r,-r\} \). Sean ahora \( z,w\in \mathbb{C} \) tales que

        \( \sqrt{z}=\{r,-r\},\;\sqrt{w}=\{s,-s\}. \)

Entonces, al ser \( (rs)^2=r^2s^2=zw \) tenemos que \( \sqrt{zw}=\{rs,-rs\} \) y

        \( \sqrt{zw}=\{rs,-rs\}=\{r,-r\}\cdot \{s,-s\}=\sqrt{z}\sqrt{w}. \)

¿Qué indica todo esto? La coherencia del producto de conjuntos con respecto al producto de las raíces cuadradas de un número complejo.

[manooooh]

Hola

No hace falta complicarse tanto. Para \( A,B \) subconjuntos de \( \mathbb{C} \) se define \( A\cdot B=\{ab:a\in A,b\in B\} \). Para \( z\in \mathbb{C} \) se define \( \sqrt{z}=\{\alpha \in\mathbb{C}:\alpha^2=z\} \). Sabemos que si \( r\in \sqrt{z} \), entonces \( \sqrt{z}=\{r,-r\} \). Sean ahora \( z,w\in \mathbb{C} \) tales que

        \( \sqrt{z}=\{r,-r\},\;\sqrt{w}=\{s,-s\}. \)

Entonces, al ser \( (rs)^2=r^2s^2=zw \) tenemos que \( \sqrt{zw}=\{rs,-rs\} \) y

        \( \sqrt{zw}=\{rs,-rs\}=\{r,-r\}\cdot \{s,-s\}=\sqrt{z}\sqrt{w}. \)

¿Qué indica todo esto? La coherencia del producto de conjuntos con respecto al producto de las raíces cuadradas de un número complejo.

Gracias.

Saludos