Hola
Buen día,
Una vez oí de un profesor que la derivada era una formula fija y que no se podía separar: \( \displaystyle\lim_{h \to 0}{\frac{ f(x+h) - f(x)}{h}} \),
Sinceramente no se en que estaba pensando tu profesor cuando hizo esa afirmación. No digo ni que esté bien ni que esté mal. No entiendo que significado preciso pretende darle.
La derivada se define como el límite que escribe y hereda simplemente todas las consideraciones y matices que puedas hacer sobre los límites.
sin embargo, yo sé que el límite es distributivo para la división
No sé si te refieres a esto:
\( \displaystyle\lim_{x \to x_0}{}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{\displaystyle\lim_{x \to x_0}f(x)}{\displaystyle\lim_{x \to x_0}g(x)} \)
Eso es cierto siempre que los dos límites de la derecha existan y \( \displaystyle\lim_{x \to x_0}g(x)\neq 0 \).
Es decir uno puede aplicar cualquier propiedad válida para límites en el límite que define la derivada; pero...¡válidas!.
y en ecuaciones diferenciales y en Física se separa la dy de la dx. Entonces, ¿por qué se dice que la derivada es una fórmula fija si se puede separar? ¿son lo mismo la derivada y la división de dos diferenciales separables?
La \( dx \) y \( dy \) en esos casos son notaciones. Dependiendo del contexto y el significado preciso a veces se denota la derivada de una funcíon \( f(x) \) escribiendo \( y=f(x) \) y \( y'=f'(x)=\dfrac{dy}{dx} \).
Saludos.
