[albertlorenzo]

Queremos echar 21L de gasóleo a un depósito. Para ello, tenemos dos bidones, de 2 y 5 litros respectivamente.

A)¿Es posible medir 21L con nuestros bidones? ¿Por qué?
B) En caso afirmativo, dar todas las posibles combinaciones.
C) Si suponemos que en nuestro depósito caben 22L exactamente. ¿Cómo podemos echar 21L sin desbordar el depósito?

\( ax+by=c \) \( \Rightarrow{} \) \( 2x + 5y = 21 \)

Aplicamos el teorema de Euclides para el \( mcd(a, b)=d\qquad \Rightarrow\qquad  mcd(2, 5)=1
 \)

Sacamos la identidad de Bezout donde \( x_0 = -42 \) e \( y_0 = 21 \)

Resolvemos la ecuación diofántica hallando \( \alpha=a/d \) y \( \beta= b/d \) para quedarnos con:

\( x = x_0 +\alpha \eta \qquad \longrightarrow{}\qquad  x = -42+5\eta \)
\( y = y_0 -\beta\eta  \qquad \longrightarrow{}\qquad  y = 21-2\eta \)

Donde \( \forall \eta\in \Bbb Z \).

La cuestión A está resuelta.

B) ¿Infinitas combinaciones?

C) \( x=3 \) \( y=3 \) por ejemplo

Mi pregunta es, ¿cómo averiguo el rango de los posibles valores para \( \eta \)?
Mensaje corregido desde la administración.

[ingmarov]

Hola albertlorenzo, bienvenido

Debes leer las reglas del foro y el tutorial de LaTex, encontrarás enlaces en la parte superior de la página.

Si quieres consideras solo valores positivos de x e y, entonces solo tienes dos soluciones

\( \eta=\{9,10\} \)


Si \( \eta\leq8,\quad {\color{red}x\leq -2} \)

Si \( \eta\geq 11,\quad {\color{red}y\leq -1} \)

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 Por detallar más lo que apunta ingmarov: tu has obtenido la solución general,

\( x=-42+5\eta \)
\( y=21-2\eta \)

con \( \eta\in \mathbb{Z} \).

 Si queremos soluciones no negativas (lo cuál es coherente con aquello que representan nuestras variables: número de bidones), imponemos:

\( x\geq 0 \) es decir \( -42+5\eta\geq 0\quad \Rightarrow\quad \eta\geq \dfrac{42}{5}=8.4 \)
\( y\geq 0 \) es decir \( 21-2\eta\geq 0\quad \Rightarrow\quad \eta\leq \dfrac{21}{2}=10.5 \)

 Los valores enteros \( \eta \) con \( 8.4\leq \eta\leq 10.5 \) son \( \eta=9,10 \).

Saludos.