Autor Tema: Si a y b son enteros tales que mcd(a,b) = 1, demostrar que...

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24 Septiembre, 2019, 09:07 pm
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albertlorenzo

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24 Septiembre, 2019, 09:29 pm
Respuesta #1

ingmarov

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Hola

Creo que se puede utilizar el algoritmo de Euclides para calcular mcd(a+b,a), entonces

a+b=1(a)+b

a=k(b)+r

La segunda división es el primer paso del algoritmo de Euclides para calcular mcd(a,b)


Quizás te sirva

Saludos

No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
Odio el autocorrector de Android...

24 Septiembre, 2019, 09:47 pm
Respuesta #2

Juan Pablo Sancho

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Sea \(  d = mcd(a+b,a)  \) tenemos que \(  d|a \) y \(  d|a+b  \) entonces \( d|(a+b)-a  \) y sigue.
Nos queda:
\( (a+b,a)=(a+b,b)=1 \)

25 Septiembre, 2019, 12:37 am
Respuesta #3

feriva

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Hola

mcd(a + b, a) = 1


También puedes hacerlo por reducción al absurdo.

Supones que “a” tiene un factor común con “a+b” (sea el factor “p”); entonces podemos escribir

\( \dfrac{a+b}{p}=k\in\mathbb{Z}\Rightarrow\dfrac{a}{p}+\dfrac{b}{p}=k\in\mathbb{Z}
  \).

Ahora, como “p” divide a “a”, tenemos que

\( con\,\dfrac{a}{p}=z\in\mathbb{Z}
  \)

\( z+\dfrac{b}{p}=k
  \).
\( \dfrac{b}{p}=k-z
  \).

Y por ser enteros “k” y “z”, ha deserlo “k-z”, y, por tanto, \( \dfrac{b}{p}\in\mathbb{Z}
  \).

Esto implica que “p” divide a “b” siendo “p” un factor de “a”, luego \( (a,b)\geq|p|
  \) contradiciendo así la condición \( (a,b)=1
  \) que da el enunciado.


Saludos.