Suponiendo que:
\( \frac{\partial^{2}S}{\partial U^{2}}=\frac{a}{U(U+b)} \)
encuentre
\( \rho(\nu,T)=\frac{A\nu^{3}}{e^{\frac{B\nu}{T}}-1} \)
y establezca la relación entre las constantes a \( a, b, A y B \) :
lo que he hecho es esto:
Intregramos esta ecuacion:
\( \frac{\mathrm{d} S}{\mathrm{d} U}=\int \frac{a}{U(U+b)}dU \)
\( \frac{\mathrm{d} S}{\mathrm{d} U}=-\frac{a}{b}\, ln\left ( \frac{b+U}{U} \right ) \)
Usamos la definicion de temperatura:
\( \frac{\partial S }{\partial U}=\frac{1}{T} \)
Sustituimos:
\( \frac{1}{T}=-\frac{a}{b}\, ln\left ( \frac{b+U}{U} \right ) \)
despejamos a \( U \) :
\( U=\frac{b}{e^{-\frac{b}{aT}}-1} \)
Ahora usamos la ecuacion fundamental de Planck:
\( \rho(\nu,T)=\frac{8\pi \nu ^{2}}{c^{3}}U \)
Asi que la ecuacion queda de la forma:
\( \rho(\nu,T)=\frac{8\pi \nu ^{2}}{c^{3}}\frac{b}{e^{-\frac{b}{aT}}-1} \)
Hasta aqui he llegado, he investigado y me dicen que debo comparar las constantes de esta ecuacion con la ley de Wien:
\( \rho(\nu,T)=\nu^{3}f(\nu/T) \)
peronose como hacerlo, me podrian ayudar, de antemano gracias
