[Xtimmler]

Saludos foro.
En una guía de álgebra hay un problema que dice lo siguiente:
"Hallar el lugar geométrico de los puntos cuya distancias al plano yz son el doble de las correspondientes al punto (1,-2,2)."
El problema no logro comprender bien que es lo que pide, además pensaría que la posición de puntos a una distancia de un plano daría otro plano.
Sin embargo en las soluciones de la guía dice que el lugar geométrico de los puntos es un elipsoide de revolución de centro (4/3,-2,2) y eje paralelo al eje x.
Si alguien pudiera ayudarme se lo agradecería mucho.

[ingmarov]

Hola.  Corregido

Sea (x,y,z) un punto del lugar geométrico, entonces,

La distancia de este punto al plano yz es "|x|".

La distancia al punto dado es

\( d=\sqrt{(x-1)^2+(y+2)^2+(z-2)^2} \)

Luego

\( |x|=2\sqrt{(x-1)^2+(y+2)^2+(z-2)^2} \)

Saludos

[Fernando Revilla]

Sin embargo en las soluciones de la guía dice que el lugar geométrico de los puntos es un elipsoide de revolución de centro (4/3,-2,2) y eje paralelo al eje x.

Elevando al cuadrado la fórmula que te dio  ingmarov \( \left |{x}\right |=2\sqrt{(x-1)^2+(y+2)^2+(z-2)^2} \) obtenemos:

        \( 3x^2+4y^2+4z^2-8x+16y-16z+36=0. \)

Completando cuadrados,

        \( 3(x-4/3)^2+4(y+2)^2+4(z-2)^2=4/3. \)

Y expresando en forma canónica,

        \( \displaystyle\frac{(x-4/3)^2}{(2/3)^2}+\frac{(y+2)^2}{(1/\sqrt{3})^2}+\frac{(z-2)^2}{(1/\sqrt{3})^2}=1. \)

Claramente es un elipsoide de revolución de centro \( (4/3,-2,2) \) y eje paralelo al \( OX. \)

[Luis Fuentes]

Hola

 Un comentario adicional. En el plano para cualquier cónica no degenerada se definen foco, directriz asociada y excentricidad, respectivamente como un punto \( F \), la recta polar del mismo \( d \) y una constante \( e \) verificando:

\( \dfrac{d(P,F)}{d(P,d)}=e \) constante para todo \( P\in \textsf{cónica} \)

 La excentricidad caracteriza el tipo de cónica:

 - Si \( e<1 \) se trata de una elipse.
 - Si \( e=1 \) se trata de una parábola.
 - Si \( e>1 \) se trata de una hipérbola.

 Como consecuencia de esto el lugar geométrico de puntos del plano cuya distancia a un punto fijo es \( e \) veces la distancia a una recta fija es una cónica; y el valor de \( e \) según lo apuntado antes nos indica el tipo de cónica.

 Esto se traslada inmediatamente a una dimensión más, cambiando la recta por un plano.

 El lugar geométrico de puntos del espacio cuya distancia a un punto fijo es \( e \) veces la distancia a un plano fijo es una cuádrica de revolución; en particular:

 - Si \( e<1 \) se trata de un elipsoide de revolución.
 - Si \( e=1 \) se trata de un paraboloide elíptico de revolución.
 - Si \( e>1 \) se trata de un hiperboloide de dos hojas de revolución.

 En el ejercicio se tiene que \( e=1/2 \) y por eso resulta un elipsoide de revolución.

Saludos.

[Fernando Revilla]

En el ejercicio se tiene que \( e=1/2 \) y por eso resulta un elipsoide de revolución.

En cualquier caso es estupenda la generalización que has dado. Ahora bien, me queda la duda de si la has dado exclusivamente como información adicional (que insisto, me parece estupendo) o bien porque consideras que de la forma canónica de la superficie no se deduce de forma inmediata que es un elipsoide de revolución. ¿Es éste el caso?

[Luis Fuentes]

Hola

En cualquier caso es estupenda la generalización que has dado. Ahora bien, me queda la duda de si la has dado exclusivamente como información adicional (que insisto, me parece estupendo) o bien porque consideras que de la forma canónica de la superficie no se deduce de forma inmediata que es un elipsoide de revolución. ¿Es éste el caso?

Era exclusivamente información adicional; simplemente para mostrar que, en base a la teoría adecuada, uno puede predecir que tipo de cuádrica va a aparecer sin hacer una sola cuenta.

Obviamente de la ecuación canónica de la cuádrica calculada se ve inmediatamente que es un elipsoide de revolución.

Saludos.

[Fernando Revilla]

Era exclusivamente información adicional; simplemente para mostrar que, en base a la teoría adecuada, uno puede predecir que tipo de cuádrica va a aparecer sin hacer una sola cuenta. Obviamente de la ecuación canónica de la cuádrica calculada se ve inmediatamente que es un elipsoide de revolución.

All right.