Autor Tema: Línea TFG de álgebra

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06 Septiembre, 2019, 01:38 am
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Gerardovf

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Buenas,

pongo esto por aquí porque no sé muy bien en qué otro sitio del foro encuadrarlo. Soy un estudiante de matemáticas y quiero hacer un trabajo de fin de grado de un tema relacionado con álgebra, en concreto, teoría de anillos. Por eso, les pido consejos de posibles temas interesantes que proponerle a mi tutora.

Gracias de antemano,
RDisruptor.

06 Septiembre, 2019, 09:07 am
Respuesta #1

geómetracat

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Para poder ayudarte mejor estaría bien que dijeras, de manera resumida, qué cursos has hecho relacionados con el tema y cuál era su contenido. Teoría de anillos es un tema muy amplio, pero para acotar un poco: ¿te interesa más la teoría de anillos no conmutativos, o el álgebra conmutativa?
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

06 Septiembre, 2019, 10:15 am
Respuesta #2

Gerardovf

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Para poder ayudarte mejor estaría bien que dijeras, de manera resumida, qué cursos has hecho relacionados con el tema y cuál era su contenido. Teoría de anillos es un tema muy amplio, pero para acotar un poco: ¿te interesa más la teoría de anillos no conmutativos, o el álgebra conmutativa?

He dado una asignatura entera de lo básico de teoría de anillos, y la asignatura de álgebra conmutativa. Y en ambos casos, solo trabajábamos con anillos conmutativos y unitarios.

Dicho lo cuál, como temas concretos que me encantaron nombraría la localización de un anillo, la irreducibilidad de polinomios, la descomposición de ideales en ideales primarios y, en el caso de dominos de Dedekind, su descomposición en ideales primos.

Un saludo,
RDisruptor.

06 Septiembre, 2019, 05:40 pm
Respuesta #3

geómetracat

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Quizás lo mejor sea ir a hablar con un profesor/a de álgebra que te guste y que te proponga algún tema. Si piensas continuar al acabar el grado con un doctorado, esto es especialmente buena idea, porque te pueden proponer temas que después den lugar a problemas de investigación interesantes.

Dicho esto, te dejo algunos temas que se me ocurren y que puedes mirar. De todas formas, ten en cuenta que yo no soy ningún experto en álgebra, y que igual algunos temas son demasiado difíciles o demasiado cortos como para hacer un TFG, pero así tienes una idea de cosas que puedes mirar.

De álgebra conmutativa:
-Teoría de la dimensión. Este es un tema interesante y útil en el que puedes estudiar bastantes cosas con tu bagaje. Además, puedes conectarlo con geometría algebraica, si te interesa.

-Invariantes homológicos. No sé si has hecho algo de álgebra homológica. Una introducción al álgebra homológica y alguna aplicación al estudio de anillos conmutativos podría ser un buen tema, porque es algo utilísimo que se usa contínuamente en el álgebra y la geometría moderna. Pero quizás es demasiado ambicioso si no has visto nunca nada de álgebra homológica, no sé.

-Anillos de Dedekind: Puedes estudiar más a fondo la teoría de anillos de Dedekind. Esto entronca bastante con la teoría de números algebraica. Por ejemplo, puedes estudiar  extensiones de anillos de Dedekind y teoría de ramificación (cómo se descomponen los ideales primos de un anillo de Dedekind en su clausura entera en una extensión finita de su cuerpo de fracciones).

También puedes mirar algo de anillos no conmutativos. Por ejemplo, puedes probar el teorema de Artin-Wedderburn (clasificación de anillos semisimples).

Otra cosa que puedes hacer es tomar un libro más o menos completo sobre álgebra conmutativa (por ejemplo, Commutativa algebra with a view towards algebraic geometry, de Eisenbud), mirar el índice y echarle un vistazo a los temas (leer la introducción de los capítulos que te llamen la atención, por ejemplo).

La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

06 Septiembre, 2019, 08:42 pm
Respuesta #4

Gerardovf

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Quizás lo mejor sea ir a hablar con un profesor/a de álgebra que te guste y que te proponga algún tema. Si piensas continuar al acabar el grado con un doctorado, esto es especialmente buena idea, porque te pueden proponer temas que después den lugar a problemas de investigación interesantes.

Dicho esto, te dejo algunos temas que se me ocurren y que puedes mirar. De todas formas, ten en cuenta que yo no soy ningún experto en álgebra, y que igual algunos temas son demasiado difíciles o demasiado cortos como para hacer un TFG, pero así tienes una idea de cosas que puedes mirar.

De álgebra conmutativa:
-Teoría de la dimensión. Este es un tema interesante y útil en el que puedes estudiar bastantes cosas con tu bagaje. Además, puedes conectarlo con geometría algebraica, si te interesa.

-Invariantes homológicos. No sé si has hecho algo de álgebra homológica. Una introducción al álgebra homológica y alguna aplicación al estudio de anillos conmutativos podría ser un buen tema, porque es algo utilísimo que se usa contínuamente en el álgebra y la geometría moderna. Pero quizás es demasiado ambicioso si no has visto nunca nada de álgebra homológica, no sé.

-Anillos de Dedekind: Puedes estudiar más a fondo la teoría de anillos de Dedekind. Esto entronca bastante con la teoría de números algebraica. Por ejemplo, puedes estudiar  extensiones de anillos de Dedekind y teoría de ramificación (cómo se descomponen los ideales primos de un anillo de Dedekind en su clausura entera en una extensión finita de su cuerpo de fracciones).

También puedes mirar algo de anillos no conmutativos. Por ejemplo, puedes probar el teorema de Artin-Wedderburn (clasificación de anillos semisimples).

Otra cosa que puedes hacer es tomar un libro más o menos completo sobre álgebra conmutativa (por ejemplo, Commutativa algebra with a view towards algebraic geometry, de Eisenbud), mirar el índice y echarle un vistazo a los temas (leer la introducción de los capítulos que te llamen la atención, por ejemplo).



Muchas gracias, me ha sido de mucha utilidad!