Hola
En \( \mathbb{A}_\mathbb{K}^4 \) escribir la ecuación cartesiana y paramétrica del hiperplano \( H \) tal que \( P \in H, \ell \parallel H \) y \( \pi \parallel H \) donde \( P \equiv (0,0,0,2) \), \( \ell: x_1=x_2=x_3=x_4 \) y \( \pi: x_2=2x_4=2. \)
Hola, podemos escribir \( \left[\begin{array}{cccc}{x_1}\\{x_2}\\{x_3}\\{x_4} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{0}\\{0}\\{0}\\{2}\end{array}\right]+U\cdot \lambda \). Pero cómo encuentro \( U \) y \( \lambda \)?
Las ecuaciones cartesianas de la recta \( \ell \) son:
\( x_1-x_2=0 \)
\( x_1-x_3=0 \)
\( x_3-x_4=0 \)
Resolviendo el sistema paramétricamente se obtiene:
\( (x_1,x_2,x_3,x_4)=(\lambda,\lambda,\lambda,\lambda)=\lambda(1,1,1,1) \)
y por tanto \( (1,1,1,1) \) es su vector director.
Análogamente las ecuaciones cartesianas del plano \( \pi \) son:
\( x_2=0 \)
\( x_4=1 \)
Resolviendo paramétricamente resulta:
\( (x_1,x_2,x_3,x_4)=(a,0,b,1)=(0,0,0,1)+a(1,0,0,0)+b(0,0,1,0) \)
Por tanto el plano está generado por \( \{(1,0,0,0),(0,0,1,0)\}. \)
El hiperplano buscados es paralelo a ambos y así sus generadores son los de uno y otro:
\( \{(1,0,0,0),(0,0,1,0),(1,1,1,1)\} \)
Por tanto las paramétricas del hiperplano buscado son:
\( \left[\begin{array}{ccc} {x_1}\\ {x_2}\\ {x_3}\\ {x_4} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc} {0}\\ {0}\\ {0}\\ {2} \end{array}\right]+\begin{bmatrix}{1}&{0}&{1}\\ {0}&{0}&{1}\\ {0}&{1}&{1}\\ {0}&{0}&{1} \end{bmatrix} \left[\begin{array}{ccc}{\lambda_1}\\ {\lambda_2}\\ {\lambda_3} \end{array}\right] \)
Saludos.
