Autor Tema: Tema Numeración 2

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02 Septiembre, 2019, 04:40 pm
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Francois

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Problema
Un numeral de tres cifras iguales de la base \( n \) se escribe en el sistema decimal, como un capicúa de \(  3 \) cifras, cuya cifra central es "\( n \)".
 Calcular cuántos números de 4 cifras de la base "\( n \)" son numerales impares en base \( 10 \).

Solución

Dato \( \overline{aaa_{(n)}}=\overline{bnb} \)
Propiedad \( n^{2}\leq{\overline{bnb}}<n^{3} \)
Si \( n=6 \) se tiene \( b=1 \) luego \( \overline{aaa_{(n)}}=161=425_{6} \) (No cumple)

Si \( n=7 \) se tiene \( b=1 \) o \( b=2 \). Supongamos \( b=1 \) con \( n=7 \).


Piden cuántos numerales existen tal que \( \overline{wxyz_{(7)}}= Impar \)
Por propiedad \( x+y+z+w = \) Impar , con \( x,y,z \in \{0,1,2,3,4,5,6\} \) y \( w\in\{1,2,3,4,5,6\} \)

¿Cómo podría calcular todos estos numerales?

Saludos.

03 Septiembre, 2019, 08:57 am
Respuesta #1

martiniano

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Hola.

Basta con hacer \( 7^3\cdot{6} \). De todas formas, no veo que hayas dejado claro que n no puede valer 8 ó 9. Yo lo he echo pasando a base 10 los numerales que en base 8 ó 9 tienen sus tres cifras iguales.

Un saludo.

03 Septiembre, 2019, 10:19 am
Respuesta #2

Luis Fuentes

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Hola

Basta con hacer \( 7^3\cdot{6} \).

Esas serían todas, ¿no?. Las que suman par y las que suman impar.

Las que suman impar serían exactamente la mitad, ya que hay tantos de suma par como de suma impar. Esto se justifica, por ejemplo, teniendo en cuenta que la transformación biunívoca:

\( \overline{wxyz_{(7)}}\to \overline{(7-w)xyz_{(7)}}  \)

transforma sumas pares en impares y viceversa.

Saludos.

03 Septiembre, 2019, 11:31 am
Respuesta #3

martiniano

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Hola.

Sí, sí. Claro que son todas. Menudo despiste tengo.

Gracias, un saludo.

03 Septiembre, 2019, 05:30 pm
Respuesta #4

Francois

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Muchas gracias martiniano y Luis Fuentes.

Ya lo entendí.

Saludos.