[virgilio]

Hola, me podéis echar una mano con el problema siguiente, no consigo simplificar la ecuación que me sale con exponentes fraccionarios.

"¿Para qué valores de x puede usarse \( \sqrt[5]{x} \) en lugar de \( \sqrt[5]{x+1} \), si el error debe ser menor que 0,001?"

Muchas gracias.

[ingmarov]

Hola

Debe haber una forma bonita de hacer esto, pero por ahora se me ocurre resolver

\( \sqrt[ 5]{x+1}-\sqrt[ 5]{x}=0.001 \)


Wolfram Alpha nos da la solución \( x\approx 751.62 \). Por lo que la ecuación será válida para valores mayores o iguales a este.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28x%2B1%29%5E%281%2F5%29-x%5E%281%2F5%29%3D0.001



Saludos

[virgilio]

Gracias ingmarov. Se trata efectivamente de utilizar \( dy=f^{\prime}(x)dx \) y del planteamiento me sale una ecuación con exponentes fraccionarios cuya resolución es realmente la pega del problema:

         \( \sqrt[5]{x+1}-\left(\sqrt[5]{x}+\displaystyle{1 \over 5\sqrt[5]{x^4}}\right)=10^{-3} \)

Un saludo.

[ingmarov]

Veamos, si planteamos      \( f(x)=(x)^{\frac{1}{5}} \)

\( (x+1)^{\frac{1}{5}}\approx (x)^{\frac{1}{5}}+\dfrac{1}{5}(x)^{-\frac{4}{5}} \)

Restamos   \( (x)^{\frac{1}{5}} \)

\( (x+1)^{\frac{1}{5}}-(x)^{\frac{1}{5}}\approx \dfrac{1}{5}(x)^{-\frac{4}{5}} \)

Entonces

\( \dfrac{1}{5}(x)^{-\frac{4}{5}}<0.001 \)


Esa sí la puedes resolver!!!

[virgilio]

Muchas gracias ingmarov por la claridad de tu explicación. Saludos.

[Fernando Revilla]

Sospecho que el título no corresponde fielmente a la intención de la redacción. Habla de sustituir una función por otra y no de para una misma función \( y= f(x) \) comparar \( dy \) con \( \Delta y \). Puede que el "espíritu" del problema sea la aplicación del teorema del valor medio de Lagrange. Considerando la función \( f(t)=\sqrt[ 5]{t} \) en el intervalo \( [x,x+1] \), por el teorema de Lagrange existe \( \xi \in (x,x+1) \) tal que \( f^\prime (\xi)=\displaystyle\frac{f(x+1)-f(x)}{x+1-x} \). O equivalentemente \( \displaystyle\frac{1}{5\sqrt[ 5]{\xi^4}}=\sqrt[ 5]{x+1}-\sqrt[5 ]{x} \). Fácilmente verificamos que \( \displaystyle\frac{1}{5\sqrt[ 5]{\xi^4}}< 0.001 \) exactamente cuando \( \xi > (10^3/5)^{5/4} \), con lo cual la proximación pedida se verifica en \( [(10^3/5)^{5/4}, +\infty] \).

[virgilio]

Muchas gracias Fernando, ya veo por dónde deberían ir los tiros, aunque el teorema de Lagrange queda fuera del alcance del libro del que he sacado el problema.