[juanluisog]

\( \left\{{\displaystyle\frac{1}{2^n}+\displaystyle\frac{1}{2^m}}\right\} \)
Tengo que calcular el ínfimo y el supremo. En este caso, el supremo es claro que es 1 pues pertenece al conjunto y por tanto, es máximo y en consecuencia es el supremo. No me queda claro cómo demostrar que 0 es el ínfimo.

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[geómetracat]

Por un lado es claro que todos esos números son (estrictamente) positivos, luego \( 0 \) es una cota inferior. Por tanto, basta ver que si \( x >0 \) entonces existe un número de tu conjunto menor que \( x \). Tu conjunto contiene a todoa los números de la forma \( \frac{1}{2^n} \) (en efecto, \( \frac{1}{2^n} = \frac{1}{2^{n+1}} + \frac{1}{2^{n+1}} \)), por lo que basta ver que existe un \( n \) tal que \( \frac{1}{2^n}<x \). Pero esto ya es fácil.

[juanluisog]

No he entendido la última parte de la respuesta. Tengo que probar que no existe un \( x>0 \) que sea cota inferior del conjunto, no sé por que tengo que demostrar \( x>1/2^n \).

[geómetracat]

Lo que digo es que como los números de la forma \( \frac{1}{2^n} \) están todos en tu conjunto, para ver que \( x>0 \) no es cota inferior de tu conjunto te basta con ver que \( \frac{1}{2^n}<x \) para algún \( n \) (pues entonces has encontrado un elemento de tu conjunto estrictamente menor que \( x \), luego \( x \) no es cota inferior).

[juanluisog]

Vale. Lo entendí. Y para ver eso creo que hay varias formas de hacerlo mediante limítes, desigualdades, etc. ¿Cual es la más recomendable o cómo se cual es la forma que tengo que usar para demostrar eso¿

[geómetracat]

Sí, lo puedes ver de muchas maneras, como dices. En principio puedes usar la que más te guste. Quizás la más básica sea usar la propiedad arquimediana de los reales (dado cualquier real siempre hay un natural mayor) para deducir que existe un natural \( n \) tal que \( 1/x <n \) y usar la desigualdad \( n < 2^n \) (que puedes probar, por ejemplo, por inducción) para concluir que \( 1/x < 2^n \) y por tanto \( 1/2^n<x \).

[juanluisog]

Vale. Gracias. Creo que lo he entendido aunque no me vendría mal saber alguna otra forma de demostrarlo para asegurarme de saber hacerlo...

[geómetracat]

Bueno, puedes usar \( \lim_n \frac{1}{2^n} =0 \), pero es más o menos lo mismo (de hecho lo que te puse en el anterior mensaje demuestra ese lìmite).

[juanluisog]

De acuerdo. Se que hay casos en los que usa el limite o criterios para saber el limite como el criterio del cociente y demas, pero con los limites a que conclusion llego? Y depende del resultado del limite se llega a una conclusión diferente?

[geómetracat]

Um, el criterio del cociente sirve para estidiar la convergencia de series, a no ser que te refieras a algo distinto a lo que yo entiendo por criterio del cociente. Así que no veo para qué te podría servir aquí.

El hecho de que \( \lim_n \frac{1}{2^n}=0 \) lo que quiere decir (por definición) es que para cada \( \epsilon>0 \) existe un natural \( N \) tal que para todo \( n>N \) se cumple \( \frac{1}{2^n} < \epsilon \). Si te fijas es lo mismo a lo que hemos llegado antes, solo que allí llamaba \( x \) a lo que aquí llamo \( \epsilon \).
En general, los límites son bastante útiles para encontrar supremos e ínfimos. De hecho, si tienes una sucesión monótona decreciente (respectivamente creciente) su límite te da su ínfimo (resp. su supremo), por la misma razón que con \( (\frac{1}{2^n})_n \) (escribe la definición de límite y convéncete de que es así).