[Erika Lozano]

\( \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{(k^2+7k+12)} \)

[ciberalfil]

\( \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{(k^2+7k+12)}=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{(k+3)(k+4)}=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\Bigg(\dfrac{1}{k+3}-\dfrac{1}{k+4}\Bigg) \)

será esto? Si es esto es una serie telescópica, muy fácil de sumar.

[guillem_dlc]

Para cualquier natural \( k\geq 1 \) se tiene

\( \dfrac{1}{k^2+7k+12}=\dfrac{1}{(k+3)(k+4)}=\dfrac{1}{k+3}-\dfrac{1}{k+4} \)

Entonces la suma de la serie del enunciado es igual a la de la serie telescópica

\( \left( \dfrac14 -\dfrac15 \right) +\left( \dfrac15 -\dfrac16 \right) +\left( \dfrac16 -\dfrac17 \right) +\cdots =\dfrac{1}{4}. \)

Saludos.