[FelipeCardoxo]

Cordial Saludo

Necesito hallar la convergencia o divergencia de la siguiente sumatoria


\( \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{6}{(2n-1)(2n+1)} \)

[robinlambada]

Hola.

Cordial Saludo

Necesito hallar la convergencia o divergencia de la siguiente sumatoria


\( \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{6}{(2n-1)(2n+1)} \)

Utiliza el criterio integral, o puedes comparar con la serie \( \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^2} \)

Saludos.

[FelipeCardoxo]

No entiendo muy bien me podrias explicar porfa

[ingmarov]

Hola Felipe, bienvenido!

Por esta vez edité tu mensaje para poner la sumatoria escrita en LaTeX directamente en tu mensaje. Debes leer las reglas del foro y el tutorial de LaTeX, encontrarás enlaces en la parte superior de la página.


En cuanto al problema, solo decir que si expandes en fracciones parciales lo que tienes es una serie telescópica.


Saludos

[robinlambada]

Pero acabo de ver que es una serie telescópica. Descompón la fracción en dos fracciones simples y son series de las inversas de las impares que se cancelan todos los términos menos los primeros y ultimos.

Haz \( \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{6}{(2n-1)(2n+1)}=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{A}{(2n+1)}+ \dfrac{B}{(2n-1)}
  \)
Saludos

P.d.: Se me adelantó Ingmarov

[Fernando Revilla]

Lo inmediato es aplicar el criterio de comparación por cociente. Mira el apartado 6 i) de http://fernandorevilla.es/blog/2014/06/03/series-de-terminos-positivos/. Tenemos

        \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}\dfrac{6}{(2n-1)(2n+1)}:\frac{1}{n^2}=\frac{3}{2}\ne 0. \)

En consecuencia, la serie dada tiene el mismo caracter que \( \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2} \) que es convergente.