Autor Tema: Probar que la relación vacía, definida sobre un conjunto no vacío, es asimétrica

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25 Agosto, 2019, 04:58 pm
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manooooh

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Hola!

Probar que la relación vacía, definida sobre un conjunto no vacío \( A \), es asimétrica.



Sabemos que una relación \( R \) es asimétrica si para todo \( x,y\in A \), es \( (x,y)\in R\implies (y,x)\notin R \).

Sabemos que \( R=\varnothing \) es una relación sobre \( A\times A \) o sea \( R\subseteq A\times A \) (con \( A\neq\varnothing \)). Debemos mostrar que si \( (x,y)\in R \) entonces \( (y,x)\notin R \).

Mi idea fue tomar dos elementos \( x,y\in A \) (que es la condición para usar la definición de asimetría, porque yo escribí "si para todo \( x,y\in A \)"), para luego decir \( (x,y)\in R \), luego por hipótesis \( (x,y)\in\varnothing \), pero esto es falso, y \( \mathrm{F}\to\text{?} \) es siempre verdadero por tanto \( R \) es asimétrica, PERO la implicancia "si \( x,y\in A \) entonces \( (x,y)\in R \)" no es cierta en general, por lo que mi razonamiento es incorrecto.

¿Cómo se puede demostrar? Por más que sea una prueba trivial, no consigo dar con la demostración.

Gracias!!
Saludos

25 Agosto, 2019, 07:06 pm
Respuesta #1

Masacroso

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Está bien lo que has hecho, es decir, tú quieres demostrar que \( \forall (x,y)\in A\times A\big((x,y)\in R\implies (y,x)\notin R\big) \), pero la forma de usar el cuantificador \( \forall x\in B(P(x)) \) es una forma sintética de escribir en verdad \( \forall x(x\in B\implies P(x)) \), que en tu caso se traduce como

\( \displaystyle{
\forall x\forall y\bigg((x,y)\in A\times A\implies \big((x,y)\in R\implies (y,x)\notin R\big)\bigg)
} \)

que como podrás comprobar es verdadera cuando \( R=\emptyset  \).

25 Agosto, 2019, 07:37 pm
Respuesta #2

manooooh

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Hola Masacroso, por cierto me pareció interesante que hayas escrito un programa para escribir \( \mathrm{\LaTeX} \) más rápido. Felicidades!

Está bien lo que has hecho (...)

No está bien según he interpretado bien lo que me han dicho en https://math.stackexchange.com/questions/3333334/prove-that-the-empty-relation-defined-on-a-non-empty-set-is-asymmetric

(...) tú quieres demostrar que \( \forall (x,y)\in A\times A\big((x,y)\in R\implies (y,x)\notin R\big) \), pero la forma de usar el cuantificador \( \forall x\in B(P(x)) \) es una forma sintética de escribir en verdad \( \forall x(x\in B\implies P(x)) \), que en tu caso se traduce como

\( \displaystyle{
\forall x\forall y\bigg((x,y)\in A\times A\implies \big((x,y)\in R\implies (y,x)\notin R\big)\bigg)
} \)

que como podrás comprobar es verdadera cuando \( R=\emptyset  \).

Pero... \( \forall x\forall y \) yo no le veo mucho sentido. Es lo mismo que usar \( x\, y \) si se quiere. ¿A qué conjunto pertenecen \( x \) e \( y \)? Esta es creo la pregunta que debemos formularnos. Y bueno, si queremos demostrar algo sobre relaciones debemos SUPONER que \( x,y\in A \) (al conjunto sobre el cual se define la relación \( R \)).

Pero entonces \( x,y\in A \) no implica que \( (x,y)\in R \) sino que es al revés. Esto es porque \( R\subseteq A\times A \) y no \( A\times A\subseteq R \).

Saludos

25 Agosto, 2019, 10:17 pm
Respuesta #3

Masacroso

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manoooh lo que he querido decir es que escribir esto

\( \displaystyle{
\forall (x,y)\in A\times A\big((x,y)\in R\implies (y,x)\notin R\big)\tag1
} \)


es una forma abreviada de escribir esto otro

\( \displaystyle{
\displaystyle{ \forall x\forall y\bigg((x,y)\in A\times A\implies \big((x,y)\in R\implies (y,x)\notin R\big)\bigg)  }\tag2
} \)

Como es fácil de demostrar que \( \rm (2) \) se cumple cuando \( A=\emptyset \) entonces \( \rm (1) \) también se cumple. Echa un vistazo aquí.

26 Agosto, 2019, 01:21 am
Respuesta #4

manooooh

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Hola

manoooh lo que he querido decir es que escribir esto

\( \displaystyle{
\forall (x,y)\in A\times A\big((x,y)\in R\implies (y,x)\notin R\big)\tag1
} \)


es una forma abreviada de escribir esto otro

\( \displaystyle{
\displaystyle{ \forall x\forall y\bigg((x,y)\in A\times A\implies \big((x,y)\in R\implies (y,x)\notin R\big)\bigg)  }\tag2
} \)

Como es fácil de demostrar que \( \rm (2) \) se cumple cuando \( A=\emptyset \) entonces \( \rm (1) \) también se cumple. Echa un vistazo aquí.

Creo que quisiste poner \( R=\emptyset \), pero no viene al caso ahora.

Yo tengo anotado que la propiedad asimétrica es:

\( \forall a,b\in A((x,y)\in R\implies (y,x)\notin R). \)

Creo que va en sintonía con el resto de propiedades que se mencionan por ejemplo aquí: http://fernandorevilla.es/blog/2014/02/03/concepto-de-relacion-binaria/ (ver Resumen Teórico, donde la pertenencia NO se da sobre un producto cartesiano, tal como vos escribís \( \forall(x,y)\in A\times A \)).

Saludos

26 Agosto, 2019, 01:31 am
Respuesta #5

Masacroso

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Hola

manoooh lo que he querido decir es que escribir esto

\( \displaystyle{
\forall (x,y)\in A\times A\big((x,y)\in R\implies (y,x)\notin R\big)\tag1
} \)


es una forma abreviada de escribir esto otro

\( \displaystyle{
\displaystyle{ \forall x\forall y\bigg((x,y)\in A\times A\implies \big((x,y)\in R\implies (y,x)\notin R\big)\bigg)  }\tag2
} \)

Como es fácil de demostrar que \( \rm (2) \) se cumple cuando \( A=\emptyset \) entonces \( \rm (1) \) también se cumple. Echa un vistazo aquí.

Creo que quisiste poner \( R=\emptyset \), pero no viene al caso ahora.

Yo tengo anotado que la propiedad asimétrica es:

\( \forall a,b\in A((x,y)\in R\implies (y,x)\notin R). \)

Creo que va en sintonía con el resto de propiedades que se mencionan por ejemplo aquí: http://fernandorevilla.es/blog/2014/02/03/concepto-de-relacion-binaria/ (ver Resumen Teórico, donde la pertenencia NO se da sobre un producto cartesiano, tal como vos escribís \( \forall(x,y)\in A\times A \)).

Saludos

Sí, quise decir \( R=\emptyset  \), y vos quisiste decir \( \forall x,y\in  A \) en vez de \( \forall a,b\in  A \). Es lo mismo poner el producto cartesiano que ponerlo de la otra manera ya que los pares \( (x,y) \) van a ser los mismos.

26 Agosto, 2019, 01:39 am
Respuesta #6

manooooh

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