HOMOGRAFÍAS
Definición. Una aplicación entre dos conjuntos en los que se ha definido una razón doble se llama homografía si conserva la razón doble. Una homografía entre dos haces de rectas concurrentes se suele llamar proyectividad, y a dichos haces se les llama proyectivos.
Lemas. Las traslaciones, los giros, las simetrías, las secciones, las homotecias y las proyecciones son homografías. La composición de homografías también es una homografía.
Ecuación de una homografía entre puntos de dos rectas
Una homografía entre puntos de dos rectas \( r \) y \( r' \) cumple: \( Ax\cdot{x'}+Bx+Cx'+D=0 \) donde \( A,B,C \) Y \( D \) son constantes reales, \( x \) la distancia de un punto \( X \) de \( r \) a un punto fijo o referencia de \( r \) y \( x' \) la distancia de la imagen de \( X \) en \( r' \) a un punto fijo o referencia de \( r' \).
Homografía definida a partir de tres pares de puntos homólogos
Todo se basa en un teorema que dice que cualquier homografía entre los puntos de dos rectas se puede escribir como composición de una traslación y una proyección.
Entonces, si tenemos tres puntos \( A,B \) y \( C \) de una recta \( r \) y sus imágenes \( A',B' \) y \( C' \) sobre \( r' \) podemos hallar la imagen de un cuarto punto \( D \) de \( r \) considerando que la homografía es la composición de la traslación que transforma \( A \) en \( A' \), que a su vez transformará \( B,C \) y \( D \) en \( B'',C'' \) y \( D'' \), con la proyección que deja fijo a \( A' \) y transforma \( B'',C'' \) y \( D'' \) en \( B',C' \) y \( D' \). A ver si con el dibujo queda más claro:
Rectas dobles de una homografía entre rectas de un mismo haz de rectas concurrentes
Se tienen tres rectas \( a,b,c \) y sus rectas imágenes por una homografía \( a',b',c' \), las seis concurrentes en un mismo punto \( V \). Se quieren hallar las rectas que quedan fijas bajo dicha homografía. Sea \( \Gamma \) una circunferencia que contiene a \( V \) y corta a las seis rectas en \( A,B,C,A',B' \) y \( C' \) respectivamente. Entonces los tres pares de rectas \( (AB',A'B) \), \( (BC',B'C) \) y \( (AC',A'C) \) se cortan en puntos de una recta (eje) que corta a \( \Gamma \) en puntos de las rectas dobles.
La construcción funciona porque los haces \[ (AA', AB',AC') \] y \[ (A'A,A'B,A'C) \] definen una perspectividad entre rectas que cortan a la circunferencia en puntos de la homografía sobre ella misma definida por los tres pares de puntos homólogos \[ (A,A');(B,B') \] y \[ (C,C') \]. El eje de la perspectividad corta a la cónica \[ \Gamma \] en los puntos dobles de la homografía.
Puntos dobles de una homografía entre puntos de una misma recta
Se tienen tres puntos \( A,B,C \) y sus respectivas imágenes por una homografía \( A',B',C' \), los seis puntos de una misma recta. Se quiere hallar los dos puntos que quedan fijos bajo dicha homografía. No hay más que considerar dos haces de rectas \( a,b,c \) y \( a',b',c' \) concurrentes en un mismo vértice \( V \) y aplicar el método anterior para hallar las rectas dobles, cuyas intersecciones con la recta sobre la que están los seis puntos del enunciado serán los puntos dobles buscados.
Y para comprobar que todo funciona aquí hay un problema curioso:
