[martiniano]

RAZONES SIMPLES Y DOBLES.

Razón simple de tres puntos alineados.

Sean \( A,B \) y \( C \) tres puntos alineados. Entonces su razón simple se define como:

\( (ABC)=\displaystyle\frac{AB}{AC} \)

La razón simple se conserva en cualquier proyección paralela. Eso quiere decir que si tenemos, tal y como muestra el dibujo, dos rectas \( r \) y \( s \) cortadas por otras tres paralelas en los puntos \( A,B, C \) y \( A',B',C' \) se tiene que \( (ABC)=(A'B'C') \)


Razón simple de tres rectas paralelas.

El hecho de que la razón simple se conserve bajo la sección da pie a definir de forma natural la razón simple de tres rectas paralelas \( r,s \) y \( t \) como:

\( (rst)=\displaystyle\frac{dist(r,s)}{dist(r,t)} \)

Razón doble de cuatro puntos alineados.

Sean \( A,B,C \) y \( D \) cuatro puntos alineados. Su razón doble se define como:

\( (ABCD)=\displaystyle\frac{(ACD)}{(BCD)}=\displaystyle\frac{AC}{AD}:\displaystyle\frac{BC}{BD} \)

La razón doble tiene las siguientes propiedades:

\( (ABCD)=(CDAB)=(BADC)=\displaystyle\frac{1}{(ABDC)} \)

La razón doble se conserva bajo cualquier proyección. Con eso se quiere decir que si tenemos dos rectas \( r,s \) cortadas por otras cuatro concurrentes en \( A,B,C,D \) y \( A',B',C',D' \) respectivamente (ver dibujo) se tiene que \( (ABCD)=(A'B'C'D') \)


Razón doble de cuatro rectas concurrentes.

El hecho de que la razón doble se conserve bajo la proyección lleva a definir de manera natural la razón doble de cuatro rectas concurrentes como la razón doble de las intersecciones de cada una de estas cuatro rectas con otra quinta. Se tiene que si \( r,s,t \) y \( u \) son rectas concurrentes, entonces su razón doble es:

\( (r,s,t,u)=\displaystyle\frac{\sin(\widehat{r,t})}{\sin(\widehat{r,u})}:\displaystyle\frac{\sin(\widehat{s,t})}{\sin(\widehat{s,u})} \)

Razón doble de cuatro puntos sobre una cónica

Resulta que si se proyectan cuatro puntos de una cónica desde un quinto punto situado en la misma cónica la razón doble de las cuatro rectas que se obtienen no depende del quinto punto. Esto da pie a definir razón doble de cuatro puntos en una cónica como la razón doble de uno de esos haces de rectas.

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