[Saucedo]

Si \( |\vec{a}-\vec{b}|=|\vec{a}+\vec{b}| \) entonces \( \vec{a} \) es perpendicular a \( \vec{b} \), con el resultado demuestra que dos vectores son perpendiculares si y solo si su producto punto es cero.

Podrían ayudarme no sé bien cómo hacer este problema

[delmar]

Hola

Una acotación, el teorema que te dan de ayuda, es si y solo si, es decir \(  \left\|{\vec{a}+\vec{b}}\right\|= \left\|{\vec{a}-\vec{b}}\right\|\Leftrightarrow{\vec{a},\vec{b}} \ son \ perpendiculares \)

Para demostrar lo que te piden, se puede demostrar :

1. \( \vec{a},\vec{b} \) perpendiculares implican \( <\vec{a},\vec{b}>=0 \)

2. \( <\vec{a},\vec{b}>=0 \) implica que \( \vec{a},\vec{b} \) son perpendiculares

Demostrando 1.

\( \vec{a},\vec{b} \) perpendiculares implican que  \( \left\|{\vec{a}+\vec{b}}\right\|= \left\|{\vec{a}-\vec{b}}\right\|\Rightarrow{\left\|{\vec{a}+\vec{b}}\right\|^2= \left\|{\vec{a}-\vec{b}}\right\|^2}\Rightarrow{<\vec{a}+\vec{b},\vec{a}+\vec{b}>=<\vec{a}-\vec{b},\vec{a}-\vec{b}>} \) Ec. 1


Luego hay que aplicar las propiedades del producto interno real a la Ec. 1:

\( <\vec{a},\vec{a}>+2<\vec{a},\vec{b}>+<\vec{b},\vec{b}>=<\vec{a},\vec{a}>-2<\vec{a},\vec{b}>+<\vec{b},\vec{b}>\Rightarrow{<\vec{a},\vec{b}>=0} \)

¿Que te parece si intentas la segunda demostración partiendo de \( <\vec{a},\vec{b}>=0 \)?

Esperamos avances o preguntas para continuar.

Saludos