[Monkey D. Erick]

Hola a todos!!!

Necesito ayuda en terminar este problema, por favor.

Problema
Se toma al azar dos números comprendidos entre 0 y 1. Determine la probabilidad que la suma de ellos no supere 1 y que su producto no sea mayor que 2/9.

Solución

El solucionario me arroja esa gráfica, la cual fue planteada con las dos restricciones anteriores:

\(  x+y < 1  \)

\(  x*y < 2/9  \)

Luego, debo hallar la probabilidad que, en este caso, viene a ser el área sombreada... ¿Cómo lo hallo?

Saludos, gracias

[Masacroso]

respuesta errónea

Sólo necesitas calcular el área del trozo de disco entre los los puntos D y E y restarla al área del triángulo.

Para calcular el área de ese trozo de disco necesitas la altura del trozo de disco, que es el radio del disco menos la distancia desde el punto medio del segmento DE al centro del disco. Si la altura es \( h \) y el radio del disco es \( r \) entonces el área del trozo de disco sería la "suma" de las longitudes de las secciones del disco, es decir la integral

\( \displaystyle{
\int_{r-h}^{r}\sqrt{r^2-x^2}\,\mathrm d x
} \)

Creo que con estos datos ya podrás resolverlo, ¿no?

[cerrar]

CORRECCIÓN: ¡ah!, perdona, la anterior respuesta (ahora en un spoiler) era errónea: me había dejado guiar por el dibujo y pensé que la curva era un trozo de arco de un círculo, pero resulta que es un trozo de la hipérbola \( f(x):=\frac{2}{9x} \), entonces la integral a plantear es diferente.

Una forma de calcular el área contenida entre la hipérbola \( f \) y el segmento DE es simplemente restar el área bajo el segmento DE y el área bajo \( f \) que está entre D y E.

[robinlambada]

Hola.
Debes primero calcular la intersección de las dos curvas.
Para ello fíjate que tienes dos igualdades
Que se pueden interpretar los números al azar  como la solución se una ecuación de segundo grado. Pues tienes la suma y el producto.
Los puntos de corte serán las soluciones de:
\( x^2-x+ \displaystyle\frac{2}{9}=0 \) .
Una vez obtenidos , solo integra la curva correspondiente sobre los límites calculados( 3 integrales)
Saludos.