[Slayer Tony]

Hola, tengo duda de como demostrar esto. Apreciaría la ayuda

Sean f´y f continuas en [a,b] y supón que \(  \left |{f´(x)}\right |≤M  \) en [a,b].
Usando el teorema del valor medio para derivadas demuestra \( U(f,P)-L(f,P)≤M(b-a) \left\|{P}\right\| \).

donde \(  \left\|{P}\right\|=\max{(x_i-x_i-1)} \)

[Juan Pablo Sancho]

Tienes \( \displaystyle U(f,P)-L(f,P) = \sum_{i=0}^{n-1} (f(\eta_i) -f(\theta_i)) \cdot (x_{i+1}-x_i) =  \)
\( \displaystyle = \sum_{i=0}^{n-1} |f'(\tau_i)| \cdot |(\eta_i - \theta_i)| \cdot (x_{i+1}-x_i)  \).
Donde \(  f(\eta_i)  \) es el máximo en el subintervalo \(  [x_i,x_{i+1}]  \).
Donde \(  f(\theta_i)  \) es el mínimo en el subintervalo \(  [x_i,x_{i+1}]  \)
Con \( |f'(\tau)|\leq M  \)