Hola
Hola
Traigo este nuevo ejercicio, la verdad es que no comprendo como hacerlo, podrian ayudarme.
Sea [texx] M [/texx] un subespacio de [texx] R^n, z \not\in M [/texx]. Demuestre que [texx] \bar{x} [/texx] es la proyección (ortogonal) de [texx] z \in M [/texx], si y solo si: [texx] (z-\bar{x},x)=0 , \forall x \in M [/texx]
Para hacer una demostración lo más coherente posible habría que saber exactamente como te han definido proyección ortogonal; una forma sería exactamente como la caracterización que te piden probar.
Pero supongamos que te lo han definido así:
Dado \( M\subset R^n \) se demuestra que todo vector \( v\in R^n \) se descompone de manera
única como:
\( v=v_1+v_2 \) con \( v_1\in M \) y \( v_2\in M^\bot \) (*)
\( v_1 \) se llama la proyección ortogonal de \( v \) sobre \( M \).
Entonces se tiene que:
\( v-v_1=v_2\in M^\bot \)
y por tanto para todo \( x\in M \) se cumple que \( (v-v_1,x)=0 \).
Recíprocamente si \( \bar x\in M \) es tal que para todo \( x\in M \) se cumple que \( (v-\bar x,x)=0 \). Entonces \( v-\bar x\in M^\bot \) y:
\( v=\bar x+(v-\bar x) \) con \( \bar x\in M \) y \( (v-\bar x)\in M^\bot \)
Por la unicidad de la descomposición (*) se tiene que \( v_1=\bar x \) y así \( \bar x \) es la proyección ortogonal de \( v \) sobre \( M \).
Saludos.
