[Sallaks]

a)Hallar las raíces cúbicas del número complejo -8i.
b)Hallar un polinomio p(x) a coeficientes reales de grado mínimo que satisfaga simultáneamente las siguientes condiciones:
i) los números hallados en el ítem anterior son raíces de p.
ii) el resto de dividir p por x - 3 es 2.
ni) las raíces racionales de q(x) = 1/2 x^4 + x^3 + x^2 + x + 1/2 son también raíces de p.

Hola necesitaba ayuda con este ejercicio, pude hacer el punto a), que las soluciones me dan 2i, √3 - i, -√3 - i
y las raíces racionales me dio raiz doble de 1.
Lo que no se es como seguir el ejercicio para poder saber como es p(x).
Muchas gracias!!

[robinlambada]

Hola:

a)Hallar las raíces cúbicas del número complejo -8i.
b)Hallar un polinomio p(x) a coeficientes reales de grado mínimo que satisfaga simultáneamente las siguientes condiciones:
i) los números hallados en el ítem anterior son raíces de p.
ii) el resto de dividir p por x - 3 es 2.
ni) las raíces racionales de q(x) = 1/2 x^4 + x^3 + x^2 + x + 1/2 son también raíces de p.

Hola necesitaba ayuda con este ejercicio, pude hacer el punto a), que las soluciones me dan 2i, √3 - i, -√3 - i
y las raíces racionales me dio raiz doble de 1.
Lo que no se es como seguir el ejercicio para poder saber como es p(x).
Muchas gracias!!

Te puedo dar algunas ideas , aunque supongo las habrás utilizado.

Si las raíces cubicas de  \( -8i \), lo son también del polinomio.

Entonces \( p(x)=c(x)\cdot{}(x^3+8i) \) y por el mismo motivo \( p(x)=d(x)\cdot{}(x+1)^2 \) (*)


Tendremos que \( p(x)=e(x)\cdot{}(x^3+8i)\cdot{}(x+1)^2 \)

Falta imponer la condición que \( p(3)=2 \) (por el teorema chino del resto)

AÑADIDO - Lo que sigue a continuación, no lo tengas en cuenta ya que no sirve para nada ( ya que todo polinomio de coeficientes reales si tiene raíces complejas estas son conjugadas (este "detalle" se me paso), por ello \( p(x) \) tiene 6 raíces complejas  como indica ingmarov

Como \(  p(x)  \) debe ser de grado mínimo y con \( e(x)=A=cte \) no funciona (no me salen coeficientes reales). Te sugiero que pruebes con \( e(x)=(Mx+N) \) he intenta imponer que los coeficientes sean reales.

Saludos.

AÑADIDO
(*) La raíz doble racional del polinomio es -1, no 1.

[ingmarov]

Hola

Un polinomio y que cumple la primera condición debe ser

\( t(x)=(x^4-4x^2+16)(x^2+4)=\bf x^6+64 \)

Tiene las raíces de -8i y sus respectivos conjugados.

Saludos

[hméndez]

a)Hallar las raíces cúbicas del número complejo -8i.
b)Hallar un polinomio p(x) a coeficientes reales de grado mínimo que satisfaga simultáneamente las siguientes condiciones:
i) los números hallados en el ítem anterior son raíces de p.
ii) el resto de dividir p por x - 3 es 2.
ni) las raíces racionales de q(x) = 1/2 x^4 + x^3 + x^2 + x + 1/2 son también raíces de p.

Hola necesitaba ayuda con este ejercicio, pude hacer el punto a), que las soluciones me dan 2i, √3 - i, -√3 - i
y las raíces racionales me dio raiz doble de 1.
Lo que no se es como seguir el ejercicio para poder saber como es p(x).
Muchas gracias!!

Del inciso i) por el teorema del factor:

Con las soluciones de a) \( 2i, \,\,\sqrt[ ]{3}-i,\,\,\,-\sqrt[ ]{3}-i \)  viendo que todas son complejas y sabiendo que \(  p \) debe ser de coeficientes reales,
nesesariamente las raices de \(  p \) deben ser las indicadas y sus respectivas complejas conjugadas, lo que significa que un factor de \( p \)
es un polinomio de grado 6, es decir:


\( (x^3+8i)(x^3-8i)=x^6+64 \)

Del inciso iii) Vemos que otro factor de \( p \) es \( x+1 \), por tanto hasta ahora \(  p \) es de la forma \( p(x)=(x^6+64)(x+1)q(x) \).

Considerando el inciso ii), por el teorema del resto tenemos que:

\(  p(3)=2 \Rightarrow{}(3^6+64)(3+1)q(3)=2\Leftrightarrow{}3172q(3)=2 \)

Por tanto el menor polinomio \( q(x) \) a seleccionar sería el constante tal que \( q(x)=\displaystyle\frac{2}{3172} \)

Entonces \( p(x)=\displaystyle\frac{1}{1586}(x^6+64)(x+1) \)

Saludos