[donlugones]

Sea P(2,1,3) y la recta dada como intersección de planos L: x-y-5=0 , z-1=0 .

Hallar dos puntos A y B de L de modo que el triangulo PAB sea equilatero. (recordar que un triangulo equilatero tiene sus 3 ángulos congruentes)

[ingmarov]

Hola

Puedes encontrar la intersección de la altura del triángulo desde el punto P en la recta. Este punto es el punto medio del lado en la recta. Con la distancia de P a la recta puedes encontrar la longitud de los lados del triángulo.

Saludos

[delmar]

Hola

Otra forma.

Se determina la intersección de los planos  en forma paramétrica, llamando \( \vec{r} \) a esa forma y tomando como parámetro x se tiene :

\( \vec{r}(x)=(x,x-5,1)=x(1,1,0)+(0,-5,1) \) esto es una recta, con vector dirección \( (1,1,0) \)

Denominando \( \vec{A}, \vec{B}, \vec{P} \) los vectores posiciones de los puntos A,B y P respectivamente se tiene : \( \vec{P}=(2,1,3), \ \ \vec{A}=(x_A,x_A-5,1) \), se observa que el vector \( \vec{B}-\vec{A} \) esta sobre la recta, eso significa que \( \vec{B}-\vec{A}=k(1,1,0) \). Haciendo un croquis se observa que el ángulo que forman los vectores \( \vec{P}-\vec{A} \) y \( \vec{B}-\vec{A} \) es 60º (ángulo en un triángulo equilátero), en consecuencia, por propiedad del producto interno :

\( (\vec{P}-\vec{A})\cdot{(\vec{B}-\vec{A})}=  \left\|{(\vec{P}-\vec{A})}\right\| \  \left\|{(\vec{B}-\vec{A})}\right\| \ cos 60º \)

Esto es una ecuación de una sola variable \( x_A \) (suponiendo posiciones de A y B en la recta tal que k>0), luego el módulo de \( \vec{P}-\vec{A} \) es el lado del triángulo, eso es suficiente para hallar B.


Saludos

[feriva]

Hola.

Hay varias formas y sus fundamentos ya han quedado señalados en las soluciones de Ingmarov y Delmar.

Un triángulo equilátero tiene tres lados iguales, son los lados determinados por las distancias entre los puntos. P

Puedes obtener la forma general del punto de la recta L mediante las ecuaciones parámetricas, esté punto dará las coordenadas en función una variable, la cual será el prámetro, dependiendo del valor será un punto u otro. Para dos puntos distintos de la misma recta, puedes tomar dos letras distintas con el fin de, después, hallar esas incógnitas.

La distancia del punto P a la recta (la distancia según la recta perpendicular) es determinante para que la distancia entre los tres puntos (P y los dos de la recta) sea la misma (de esta manera, como es obvio, el triángulo será equilátero). Esa distancia es la altura del triángulo, que te señala Ingmarov. Si esa distancia es mucha, los lados serán más largos.

Una vez que tienes la proyección del punto P sobre la recta, tienes el punto medio, que parte en dos la base del triángulo; y ahí, con unas ecuaciones y Pitágoras, te darás cuenta de que puedes resolver el problema.

Otras formas de resolverlo pueden ir enfocadas a utilizar los vectores, como ha hecho Delmar.

En este caso, también con las paramétricas, puedes hallar la forma general de los tres vectores, digamos v,u,w, los cuales también vendrán en función de de un parámetro; tendrás tres incógnitas. Como se trata de que sean iguales, a partir de la ecuación de sus módulos, pues obtener también tres ecuaciones, \( |v|=|u|;\;|v|=|w|;\;|u|=|w|
  \), y resolver el sistema.

Saludos.

[donlugones]

Excelente gracias por su ayuda! no me daba cuenta que A y B pertenecían a L por lo tanto podía tomar el director como vector AB!!! un millón de gracias!

Saludos

[ingmarov]

Hola

Por si te sirve, la longitud de los lados del triángulo es de cuatro unidades.

Saludos