Autor Tema: Demostrar que la relación \((x,y)\mathcal{R}(w,z)\iff2(x-w)=z-y\) es reflexiva

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25 Julio, 2019, 05:01 am
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manooooh

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Hola!

Sea \( \mathcal{R} \) una relación en \( \Bbb{N}\times\Bbb{N} \) dada por:

\( (x,y)\mathcal{R}(w,z)\iff2(x-w)=z-y. \)

Probar que \( \mathcal{R} \) es reflexiva.



Definición Sea \( \mathcal{R} \) una relación en \( A \). Diremos que \( \mathcal{R} \) es reflexiva si para todo \( x\in A \), se verifica \( x\mathcal{R}x \).

Con eso en mente, lo que pensé fue lo siguiente:

Sea \( (x,y)\in\Bbb{N}\times\Bbb{N} \). Entonces \( (x,y)\mathcal{R}(x,y) \) implica que \( 2(x-x)=y-y \) es decir \( 2(0)=0 \) es decir \( 0=0 \), por tanto la relación es reflexiva.

¿Es correcto?

Gracias!!
Saludos

25 Julio, 2019, 05:08 pm
Respuesta #1

geómetracat

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Es correcto, pero escrito de una manera algo rara, pues la implicación va al revés.
Es decir, como para todo \( x,y \in \Bbb N \) tienes \( 2(x-x)=y-y \), tienes que para todo \( x,y \in \Bbb N \) se tiene \( (x,y) \mathcal{R}(x,y) \) y por tanto \( \mathcal{R} \) es reflexiva.

Tal como tú lo escribes parece que partas de \( (x,y) \mathcal{R}(x,y) \), que es precisamente lo que quieres probar.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

25 Julio, 2019, 05:39 pm
Respuesta #2

manooooh

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Hola

Es correcto, pero escrito de una manera algo rara, pues la implicación va al revés.
Es decir, como para todo \( x,y \in \Bbb N \) tienes \( 2(x-x)=y-y \), tienes que para todo \( x,y \in \Bbb N \) se tiene \( (x,y) \mathcal{R}(x,y) \) y por tanto \( \mathcal{R} \) es reflexiva.

Tal como tú lo escribes parece que partas de \( (x,y) \mathcal{R}(x,y) \), que es precisamente lo que quieres probar.

Gracias geómetracat. Has confirmado lo que mi profesor dijo pero dicho de otra forma que no entiendo:

1) "No se puede empezar a demostrar por la tesis"

2) "No se demuestra comenzando por tesis y que llegues a una tautología (\( 0=0 \)) no demuestra la propiedad"

3) "Te pongo este ejemplo sencillo para que comprendas que esa forma de demostrar es incorrecta: vamos a probar que \( 1=2 \). Según vos parto de \( 1=2 \), ahora multiplico por \( 0 \): \( 1\cdot0=2\cdot0 \), luego llego a \( 0=0 \) que como es tautología demuestra que \( 1=2 \)"



A ver. 1) y 2) dicen lo mismo, pero no entiendo de qué tesis habla si la propiedad reflexiva no tiene ningún implicador!!! Es sólo verificar que \( x\mathcal{R}x \), tal como la definición dice...

Ahora bien, antes de eso debemos saber que \( x\in A \). ¿Es ésta la hipótesis, y la tesis es \( x\mathcal{R}x \)? Algo así:

\( x\in A\implies x\mathcal{R}x.\qquad(1) \)

Pero entonces todo el resto de definiciones falla (o sea la manera en demostrar esas propiedades de relaciones). Por ejemplo, la simétrica dice que dados \( x,y\in A \), \( x\mathcal{R}y\implies y\mathcal{R}x \), pero entonces si nos guiamos por \( (1) \) tendríamos:

\( x,y\in A\implies(x\mathcal{R}y\implies y\mathcal{R}x), \)

lo cual dudo mucho que sea así. Lo correcto sería que dados \( x,y\in A \), \( x\mathcal{R}y\implies y\mathcal{R}x \).



Con respecto al contraejemplo dado en 3), no estoy de acuerdo. No es un contraejemplo válido porque sabemos que \( 1=2 \) es falso!! NO es una tautología sino ES una contradicción, y yo había concluido una tautología \( 0=0 \), no una contradicción \( 1=2 \). En la prueba que presenté en mi mensaje ya sabemos que \( (x,y)\mathcal{R}(x,y) \) es verdadero. Sólo hay que demostrarlo. Por eso creo que el contraejemplo dado en 3) está mal. ¿Qué opinás?



Luego otras dudas. Me baso en tu prueba, que dice \( x,y\in\Bbb{N} \), lo cual estoy de acuerdo. Ahora bien:

1) En la prueba aparece \( 0=0 \). Nosotros trabajamos con \( \Bbb{N}=\{1,2,\ldots\} \). Pero \( 0\notin\Bbb{N} \). ¿O sea hay algo que está fallando?

2) En la prueba tenemos \( x-x \), en particular \( -x \). Pero sabemos que si \( x \) es natural, \( -x\notin\Bbb{N} \) sino que \( -x\in\Bbb{Z} \), pero estaría violando nuestra condición inicial.

3) ¿Existe algún tipo de vínculo entre el conjunto de "entrada" de la relación (\( \Bbb{N}^2 \)) y el conjunto en el que está definida la expresión matemática (\( 2(x-w)=z-y \)) de la definición de la relación (que sería \( \Bbb{Z} \), pues \( z-y\in\Bbb{Z} \), o sea la resta de dos naturales sin importar el orden dará lugar a un entero)?

Muchas gracias.

Saludos

25 Julio, 2019, 06:51 pm
Respuesta #3

geómetracat

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A ver. 1) y 2) dicen lo mismo, pero no entiendo de qué tesis habla si la propiedad reflexiva no tiene ningún implicador!!! Es sólo verificar que \( x\mathcal{R}x \), tal como la definición dice...

Ahora bien, antes de eso debemos saber que \( x\in A \). ¿Es ésta la hipótesis, y la tesis es \( x\mathcal{R}x \)? Algo así:

\( x\in A\implies x\mathcal{R}x.\qquad(1) \)

Pero entonces todo el resto de definiciones falla (o sea la manera en demostrar esas propiedades de relaciones). Por ejemplo, la simétrica dice que dados \( x,y\in A \), \( x\mathcal{R}y\implies y\mathcal{R}x \), pero entonces si nos guiamos por \( (1) \) tendríamos:

\( x,y\in A\implies(x\mathcal{R}y\implies y\mathcal{R}x), \)

lo cual dudo mucho que sea así. Lo correcto sería que dados \( x,y\in A \), \( x\mathcal{R}y\implies y\mathcal{R}x \).

Si tú quieres probar una fórmula del estilo \( \forall x \in A (x \mathcal{R} x) \), lo que no puedes hacer es empezar de \( x \mathcal{R}x \). Así podrías probar cualquier cosa, incluso si fuera falsa. Debes tomar un \( x \in A \) arbitrario y probar que se cumple \( x \mathcal{R} x \).
En tu caso, como \( (x,y) \mathcal{R}(x,y) \) es equivalente a \( 2(x-x)=y-y \), lo que debes probar es que para cualquier \( (x,y) \in \Bbb N \times \Bbb N \) se cumple \( 2(x-x)=y-y \), que es claramente cierto (pues ambos lados son \( 0 \)).

Citar
Con respecto al contraejemplo dado en 3), no estoy de acuerdo. No es un contraejemplo válido porque sabemos que \( 1=2 \) es falso!! NO es una tautología sino ES una contradicción, y yo había concluido una tautología \( 0=0 \), no una contradicción \( 1=2 \). En la prueba que presenté en mi mensaje ya sabemos que \( (x,y)\mathcal{R}(x,y) \) es verdadero. Sólo hay que demostrarlo. Por eso creo que el contraejemplo dado en 3) está mal. ¿Qué opinás?

Este caso es muy sencillo, pero tú en general no vas a saber con seguridad si lo que pretendes demostrar es verdad o no. SI fuera así, las demostraciones serían una pérdida de tiempo. Que una prueba sea válida no puede depender de si sabes de antemano que algo es cierto o no.
De todas maneras, tu profesor también concluye una tautología (\( 0=0 \)), igual que tú. La diferencia es que él parte de algo manifiestamente falso, mientras que tú partes de algo que (en principio) no sabes si es falso o no.

Si no te gusta el contraejemplo de tu profesor, piensa en lo siguiente. Sea \( \mathcal{R} \) una relación cualquiera (reflexiva o no) en un conjunto \( A \).
Voy a demostrar que cualquier relación es reflexiva. \(  x \mathcal{R} x \) implica \( x \mathcal{R} x \), por tanto, \( x \mathcal{R} x \) es cierto. Obviamente esto es completamente absurdo, pero es algo parecido a lo que pretendes hacer tú, si comienzas asumiendo \( x \mathcal{R}[color=red]x[/color]  \).

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Luego otras dudas. Me baso en tu prueba, que dice \( x,y\in\Bbb{N} \), lo cual estoy de acuerdo. Ahora bien:

1) En la prueba aparece \( 0=0 \). Nosotros trabajamos con \( \Bbb{N}=\{1,2,\ldots\} \). Pero \( 0\notin\Bbb{N} \). ¿O sea hay algo que está fallando?
Este es uno de los problemas de siempre. Para mucha gente (incluído yo), los naturales incluyen al \( 0 \). En cualquier caso, se le puede dar sentido pensando en que la expresión \( 2(x-x)=y-y \) es una expresión en \( \Bbb Z \), teniendo en cuenta que \( \Bbb N \subset \Bbb Z \).

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2) En la prueba tenemos \( x-x \), en particular \( -x \). Pero sabemos que si \( x \) es natural, \( -x\notin\Bbb{N} \) sino que \( -x\in\Bbb{Z} \), pero estaría violando nuestra condición inicial.
Lo más natural en este contexto creo que es pensar como digo arriba, que la expresión \( 2(x-w)=z-y \) es una igualdad de números enteros.

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3) ¿Existe algún tipo de vínculo entre el conjunto de "entrada" de la relación (\( \Bbb{N}^2 \)) y el conjunto en el que está definida la expresión matemática (\( 2(x-w)=z-y \)) de la definición de la relación (que sería \( \Bbb{Z} \), pues \( z-y\in\Bbb{Z} \), o sea la resta de dos naturales sin importar el orden dará lugar a un entero)?

Lo mismo que antes. Pero no hay ningún problema ni contradicción con el hecho de que la relación esté definida en \( \Bbb N \) pero su definición involucre expresiones en \( \Bbb Z \), si es lo que te preocupa.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

25 Julio, 2019, 10:40 pm
Respuesta #4

manooooh

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Hola

Muchas gracias geómetracat, me quedó claro todo lo que dijiste.

Pequeño desliz
(...) Obviamente esto es completamente absurdo, pero es algo parecido a lo que pretendes hacer tú, si comienzas asumiendo \( x \mathcal{R}  \).

\( x \mathcal{R}x \).

Lo mismo que antes. Pero no hay ningún problema ni contradicción con el hecho de que la relación esté definida en \( \Bbb N \) pero su definición involucre expresiones en \( \Bbb Z \), si es lo que te preocupa.

¿No sería que la relación está definida en \( \Bbb{N}\times\Bbb{N} \)? Porque el elemento es en este caso un par ordenado, aunque sí que es cierto que todas las variables involucradas (\( 4 \)) son naturales. Pero la relación en sí está definida creo que en \( \Bbb{N}\times\Bbb{N} \) no en \( \Bbb{N} \).
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Sólo una duda: ¿por qué mi profesor habló de tesis en la propiedad reflexiva? ¿Cuáles son la tesis y la hipótesis de esa propiedad? ¿Cuál es el equivalente formal de la definición de la propiedad reflexiva (considerándolo con implicador por supuesto, sino es \( \forall x\in A(x\mathcal{R}x) \))?

Pregunta off-topic
Como has jugado una especie de psicólogo para mí creo que es mi turno de hacer algo parecido :laugh:. ¿Qué significa tu firma? Decís que la ecuación más bonita es: \( d^2=0 \). ¿Qué misterios guarda esa inocente letra denominada \( d \), y por qué está elevada al cuadrado? Parece una simple ecuación cuadrática, que pasa por el origen, cuya única raíz es \( d=0 \) con multiplicidad dos... Nada extraño :o... ¿o sí? ::).
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Saludos

25 Julio, 2019, 11:30 pm
Respuesta #5

geómetracat

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Gracias por detectar la errata.

¿No sería que la relación está definida en \( \Bbb{N}\times\Bbb{N} \)? Porque el elemento es en este caso un par ordenado, aunque sí que es cierto que todas las variables involucradas (\( 4 \)) son naturales. Pero la relación en sí está definida creo que en \( \Bbb{N}\times\Bbb{N} \) no en \( \Bbb{N} \).

Sí, en efecto tienes razón. Fue otro despiste.

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Sólo una duda: ¿por qué mi profesor habló de tesis en la propiedad reflexiva? ¿Cuáles son la tesis y la hipótesis de esa propiedad? ¿Cuál es el equivalente formal de la definición de la propiedad reflexiva (considerándolo con implicador por supuesto, sino es \( \forall x\in A(x\mathcal{R}x) \))?

Me imagino que por tesis se refiere a "lo que pretendes demostrar", no al consecuente de una implicación. Pero de todas maneras quién mejor te puede contestar a eso es tu profesor.

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Como has jugado una especie de psicólogo para mí creo que es mi turno de hacer algo parecido :laugh:. ¿Qué significa tu firma? Decís que la ecuación más bonita es: \( d^2=0 \). ¿Qué misterios guarda esa inocente letra denominada \( d \), y por qué está elevada al cuadrado? Parece una simple ecuación cuadrática, que pasa por el origen, cuya única raíz es \( d=0 \) con multiplicidad dos... Nada extraño :o... ¿o sí? ::).

La firma se refiere al álgebra homológica. Concretamente esa ecuación es la que satisfacen los diferenciales de un complejo de cadenas. Probablemente todo esto te suene a chino, pero no te preocupes. La cuestión es que es una idea sencilla pero tremendamente potente, que se aplica en muchos contextos distintos: álgebra, geometría, análisis...
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)