Hola
Es correcto, pero escrito de una manera algo rara, pues la implicación va al revés.
Es decir, como para todo \( x,y \in \Bbb N \) tienes \( 2(x-x)=y-y \), tienes que para todo \( x,y \in \Bbb N \) se tiene \( (x,y) \mathcal{R}(x,y) \) y por tanto \( \mathcal{R} \) es reflexiva.
Tal como tú lo escribes parece que partas de \( (x,y) \mathcal{R}(x,y) \), que es precisamente lo que quieres probar.
Gracias
geómetracat. Has confirmado lo que mi profesor dijo pero dicho de otra forma que no entiendo:
1) "No se puede empezar a demostrar por la tesis"
2) "No se demuestra comenzando por tesis y que llegues a una tautología (\( 0=0 \)) no demuestra la propiedad"
3) "Te pongo este ejemplo sencillo para que comprendas que esa forma de demostrar es incorrecta: vamos a probar que \( 1=2 \). Según vos parto de \( 1=2 \), ahora multiplico por \( 0 \): \( 1\cdot0=2\cdot0 \), luego llego a \( 0=0 \) que como es tautología demuestra que \( 1=2 \)"
A ver. 1) y 2) dicen lo mismo, pero no entiendo de qué tesis habla si la propiedad reflexiva no tiene ningún implicador!!! Es sólo verificar que \( x\mathcal{R}x \), tal como la definición dice...
Ahora bien, antes de eso debemos saber que \( x\in A \). ¿Es ésta la hipótesis, y la tesis es \( x\mathcal{R}x \)? Algo así:
\( x\in A\implies x\mathcal{R}x.\qquad(1) \)
Pero entonces todo el resto de definiciones falla (o sea la manera en demostrar esas propiedades de relaciones). Por ejemplo, la simétrica dice que dados \( x,y\in A \), \( x\mathcal{R}y\implies y\mathcal{R}x \), pero entonces si nos guiamos por \( (1) \) tendríamos:
\( x,y\in A\implies(x\mathcal{R}y\implies y\mathcal{R}x), \)
lo cual dudo mucho que sea así. Lo correcto sería que dados \( x,y\in A \), \( x\mathcal{R}y\implies y\mathcal{R}x \).
Con respecto al contraejemplo dado en 3), no estoy de acuerdo. No es un contraejemplo válido porque sabemos que \( 1=2 \) es falso!! NO es una tautología sino ES una contradicción, y yo había concluido una tautología \( 0=0 \), no una contradicción \( 1=2 \). En la prueba que presenté en mi mensaje ya sabemos que \( (x,y)\mathcal{R}(x,y) \) es verdadero. Sólo hay que demostrarlo. Por eso creo que el contraejemplo dado en 3) está mal. ¿Qué opinás?
Luego otras dudas. Me baso en tu prueba, que dice \( x,y\in\Bbb{N} \), lo cual estoy de acuerdo. Ahora bien:
1) En la prueba aparece \( 0=0 \). Nosotros trabajamos con \( \Bbb{N}=\{1,2,\ldots\} \). Pero \( 0\notin\Bbb{N} \). ¿O sea hay algo que está fallando?
2) En la prueba tenemos \( x-x \), en particular \( -x \). Pero sabemos que si \( x \) es natural, \( -x\notin\Bbb{N} \) sino que \( -x\in\Bbb{Z} \), pero estaría violando nuestra condición inicial.
3) ¿Existe algún tipo de vínculo entre el conjunto de "entrada" de la relación (\( \Bbb{N}^2 \)) y el conjunto en el que está definida la expresión matemática (\( 2(x-w)=z-y \)) de la definición de la relación (que sería \( \Bbb{Z} \), pues \( z-y\in\Bbb{Z} \), o sea la resta de dos naturales sin importar el orden dará lugar a un entero)?
Muchas gracias.
Saludos
