[megasaw]

Saludos, este ejercicio me ha dejado muchas dudas ya que no sé si lo resolví de manera correcta porque no me convence la solución, dice así:
Hallar los extremos absolutos de la función \(  h(x,y,z)=x+y+z  \) bajo el conjunto \(  C={(x,y,z)\in{\mathbb{R}^3} / x^2+y^2\leq{z}\leq{1} }  \)
Use multiplicadores de Lagrange pero obtuve dos puntos \(   ( \pm\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}, \pm\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}  \) pero no me convence porque excluye muchos puntos, ¿pueden ayudarme?

[robinlambada]

Hola:

Saludos, este ejercicio me ha dejado muchas dudas ya que no sé si lo resolví de manera correcta porque no me convence la solución, dice así:
Hallar los extremos absolutos de la función \(  h(x,y,z)=x+y+z  \) bajo el conjunto \(  C={(x,y,z)\in{\mathbb{R}^3} / x^2+y^2\leq{z}\leq{1} }  \)
Use multiplicadores de Lagrange pero obtuve dos puntos \(   ( \pm\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}, \pm\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}  \) pero no me convence porque excluye muchos puntos, ¿pueden ayudarme?

Aunque no estoy muy puesto con los multiplicadores cuando las restricciones son desigualdades, a mí me da lo mismo (*)

Entiendo que las soluciones que propones son \( \left ({\pm\frac{1}{\sqrt{2}},\pm\frac{1}{\sqrt{2}},1}\right ) \)

Ten en cuenta que si graficas el volumen de restricción de la ligadura, este es un paraboloide de revolución, y intuitivamente el máximo debe estar en el contorno de la circunferencia de radio unidad    \( r^2=x^2+y^2=z=1 \)

Saludos.

P.D.: Para el máximo me da la misma solución, pero para el mínimo no. La solución de wolfram alpha es: \( (\frac{-1}{2},\frac{-1}{2},\frac{1}{2})  \)

https://www.wolframalpha.com/input/?i=minimize+x%2By%2Bz+in+x%5E2%2By%5E2%3C%3Dz%3C%3D1

[maguas]

Hola,

Para el máximo:

\( \left ( x-\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{2}} \right )^2+\left ( y-\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{2}} \right )^2\geq{0} \)

\( \Leftrightarrow{x^2+y^2+1\geq{\sqrt[ ]{2}(x+y)}} \)
por lo tanto \( x+y+z\leq{1+\sqrt[ ]{2}} \) la igualdad ocurre cuando \( x=y=\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{2}},z=1 \)

Para el mínimo:

notemos que  \( x+y+z\geq{x+y+x^2+y^2=\left ( x+\displaystyle\frac{1}{2} \right )^2+\left ( y+\displaystyle\frac{1}{2} \right )^2}-\displaystyle\frac{1}{2}\geq{-\displaystyle\frac{1}{2}} \)
con igualdad cuando \( x=y=-\displaystyle\frac{1}{2},z=\displaystyle\frac{1}{2} \)

[megasaw]

Hola,

Para el máximo:

\( \left ( x-\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{2}} \right )^2+\left ( y-\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{2}} \right )^2\geq{0} \)

\( \Leftrightarrow{x^2+y^2+1\geq{\sqrt[ ]{2}(x+y)}} \)
por lo tanto \( x+y+z\leq{1+\sqrt[ ]{2}} \) la igualdad ocurre cuando \( x=y=\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{2}},z=1 \)

Para el mínimo:

notemos que  \( x+y+z\geq{x+y+x^2+y^2=\left ( x+\displaystyle\frac{1}{2} \right )^2+\left ( y+\displaystyle\frac{1}{2} \right )^2}-\displaystyle\frac{1}{2}\geq{-\displaystyle\frac{1}{2}} \)
con igualdad cuando \( x=y=-\displaystyle\frac{1}{2},z=\displaystyle\frac{1}{2} \)

Disculpa podrías explicar mejor tu solución por favor?