[cristianoceli]

Hola  tengo dudas con este ejercicio:

Sea  \( (f_n(x)) \) una sucesión de funciones definida sobre \( A\subseteq{\mathbb{R}} \). Pruebe que si \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{f_n(x)} \) converge uniformemente sobre \( A \) entonces la sucesión de funciones \( (f_n(x)) \) converge uniformemente a la función cero sobre \( A \)

Me recomiendan usar el criterio de Cauchy para la convergencia uniforme en ambas direcciones

Lo que he hecho (que no es nada comestible)

\( \forall{\epsilon >0} \) existe \( n_0 : n>n_0 \) entonces \( |f_n(x) - f(x) | < \epsilon \)

Es decir \( \forall{\epsilon >0}  \) existe \( n_0  \) tal que si \( n>n_0 \) entonces \( | \displaystyle\sum_{n=n_0+1}^\infty{f_n(x)}|  < \epsilon \)

De antemano gracias



Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Hola  tengo dudas con este ejercicio:

Sea  \( (f_n(x)) \) una sucesión de funciones definida sobre \( A\subseteq{\mathbb{R}} \). Pruebe que si \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{f_n(x)} \) converge uniformemente sobre \( A \) entonces la sucesión de funciones \( (f_n(x)) \) converge uniformemente a la función cero sobre \( A \)

Me recomiendan usar el criterio de Cauchy para la convergencia uniforme en ambas direcciones

Por el Criterio de Cauchy para la convergencia uniforme de la serie se tiene que:

dado \( \epsilon>0 \) existe \( n_0 \) tal que si \( n>n_0 \) y \( p>0 \) entonces \( \left|\displaystyle\sum_{i=1}^p{}f_{n+i}(x)\right|<\epsilon \) para cualquier \( x\in A \)

En particular para \( p=1 \):

dado \( \epsilon>0 \) existe \( n_0 \) tal que si \( n>n_0 \) entonces \( |f_{n+1}(x)|<\epsilon \) para cualquier \( x\in A \)

y por tanto \( f_n\to 0 \) uniformemente en \( A \).

Saludos.

[cristianoceli]

Hola

Hola  tengo dudas con este ejercicio:

Sea  \( (f_n(x)) \) una sucesión de funciones definida sobre \( A\subseteq{\mathbb{R}} \). Pruebe que si \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{f_n(x)} \) converge uniformemente sobre \( A \) entonces la sucesión de funciones \( (f_n(x)) \) converge uniformemente a la función cero sobre \( A \)

Me recomiendan usar el criterio de Cauchy para la convergencia uniforme en ambas direcciones

Por el Criterio de Cauchy para la convergencia uniforme de la serie se tiene que:

dado \( \epsilon>0 \) existe \( n_0 \) tal que si \( n>n_0 \) y \( p>0 \) entonces \( \left|\displaystyle\sum_{i=1}^p{}f_{n+i}(x)\right|<\epsilon \) para cualquier \( x\in A \)

En particular para \( p=1 \):

dado \( \epsilon>0 \) existe \( n_0 \) tal que si \( n>n_0 \) entonces \( |f_{n+1}(x)|<\epsilon \) para cualquier \( x\in A \)

y por tanto \( f_n\to 0 \) uniformemente en \( A \).

Saludos.

Muchas gracias.


Saludos