Si lo he intentando pero no me ha salido es por eso que lo puse como pregunta.
Ok, tienes razón, por inducción no es tan simple como parecía. Creo que la forma más fácil de demostrarlo es utilizar la definición \( (1+x)^n:=\sum_{k=0}^n c_{n,k} x^k \), para \( n\in\Bbb N \) y coeficientes \( c_{n,k} \).
Entonces todo redunda en demostrar que \( c_{n,k}=\frac{n!}{(n-k)! k!} \) para \( n\in\Bbb N \). Ahora sí podemos usar inducción fácilmente, es decir, tomando la hipótesis inductiva como \( c_{n,k}=\frac{n!}{(n-k)! k!} \) para \( n\in\Bbb N \) entonces en el paso inductivo tenemos que
\( \displaystyle (1+x)^{n+1}=(1+x)^n(1+x)=\sum_{k=0}^n c_{n,k} x^k+\sum_{k=0}^n c_{n,k} x^{k+1}=\sum_{k=1}^{n}\left(c_{n,k}+c_{n,k-1}\right) x^k+1+x^{n+1} \)
lo que redunda en demostrar que \( \frac{n!}{(n-k)!k!}+\frac{n!}{(k-1)!(n+1-k)!}=\frac{(n+1)!}{(n+1-k)!k!} \). Finalmente nos quedarían dos pasos: probar que necesariamente todos los \( c_{n,k} \) son enteros positivos, ya que cada uno es la suma de enteros positivos en la expansión de \( (1+x)^n \); y entonces es claro que \( c_{2n,n}=\frac{(2n)!}{(n!)^2} \) es un entero positivo.
Quizá haya otra demostración más elemental que esta pero ahora mismo no se me ocurre ninguna.
ACTUALIZACIÓN: buscando alguna demostración en MSE he encontrado una más sencilla y muy bonita: se trata de demostrar que el producto de \( n \) enteros positivos consecutivos es siempre divisible por \( n! \).
Es inmediata al darnos cuenta de que para cada \( k\in\{m,\ldots, m+n\} \) existe un único \( j\in\{1,\ldots,n\} \) tal que \( k\equiv j\pmod n \), lo que implica que \( j\mid k \).
Por último observar que \( \frac{(2n)!}{(n!)^2}=\frac{(2n)\cdot(2n-1)\cdots (n+1)}{n!} \), por tanto existe una biyección entre \( \{1,\ldots,n\} \) y \( \{n+1,\ldots,2n\} \) con la anterior propiedad.
