[liamhr]

Quisiera poder saber cómo demostrar esto sabiendo que no tengo la otra función, dice esto:
\(  f: \mathbb{R}\longrightarrow{\mathbb{R}}  \) diferenciable
\(  g(x,y,z)= x^2+y^2+z^2  \)
\(  h= f \circ g  \)
Demostrar que:
\(        \left \| \nabla h(x,y,z) \right \|^2 =4g(x,y,z)(f'(g(x,y,z))^2  \)

Cómo lo demuestro sin tener la función f?

[robinlambada]

Hola, bienvenido al foro.

Utiliza la regla de la cadena para calcular el gradiente de h:

\(  \nabla h(x,y,z) =\nabla g(x,y,z) \dfrac{df[g(x,y,z)]}{dg(x,y,z)} \)

Además \(  \left\|{\nabla h(x,y,z)}\right\|^2=\nabla h(x,y,z)\cdot{}\nabla h(x,y,z) \)

Saludos.

[liamhr]

Hola, bienvenido al foro.

Utiliza la regla de la cadena para calcular el gradiente de h:

\(  \nabla h(x,y,z) =\nabla g(x,y,z) \dfrac{df[g(x,y,z)]}{dg(x,y,z)} \)

Además \(  \left\|{\nabla h(x,y,z)}\right\|^2=\nabla h(x,y,z)\cdot{}\nabla h(x,y,z) \)

Saludos.

Disculpa, podrías explicarme mejor eso de la regla de la cadena? Tengo anotados otros apuntes y la verdad es que estoy algo perdido.

[Luis Fuentes]

Hola

 Pues por la regla de la cadena:

\(  \dfrac{\partial h}{\partial x}(P)=f'(g(P))\cdot \dfrac{\partial g}{x} \)

 Haciendo lo análogo para las otras parciales se tiene que:

\( \nabla h(x,y,z) =f'(g(x,y,z))\nabla g(x,y,z) \)

 Finalmente ten en cuenta que:

\(  \nabla g(x,y,z)=(2x,2y,2z) \)

 y por tanto:

\(  \|\nabla g(x,y,z)\|^2=4x^2+4y^2+4z^2=4(x^2+y^2+z^2)=4g(x,y,z) \)

Saludos.