[liamhr]

Muy buenas tardes a todos, quisiera que me dieran una idea sobre cómo podría resolver este ejercicio, dice así:
Mostrar que cada una de las siguientes funciones es diferenciable en cada punto de su dominio:
a) \(  f(x,y)= \displaystyle\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}  \)
b) \(  f(x,y)= \displaystyle\frac{x}{y} + \displaystyle\frac{y}{x}  \)

Cómo muestro lo que pide?

[Masacroso]

Muy buenas tardes a todos, quisiera que me dieran una idea sobre cómo podría resolver este ejercicio, dice así:
Mostrar que cada una de las siguientes funciones es diferenciable en cada punto de su dominio:
a) \(  f(x,y)= \displaystyle\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}  \)
b) \(  f(x,y)= \displaystyle\frac{x}{y} + \displaystyle\frac{y}{x}  \)

Cómo muestro lo que pide?

Hay un teorema elemental de calculo diferencial vectorial que dice que si una función vectorial tiene derivadas parciales continuas entonces tiene derivada de Fréchet. Con eso el resultado es inmediato.

[manooooh]

Hola Masacroso! Nos fuimos de MSE y volvimos al foro a discutir

Hay algo que nunca logré comprender ciento por ciento, y es la siguiente condición que escribís:

(...) si una función vectorial tiene derivadas parciales continuas (...)

¿Qué significa que una función [vectorial] tenga "derivadas parciales continuas"?

Yo pienso en lo siguiente. Tenemos \( f(x,y) \) definida en un conjunto \( A\subseteq\Bbb{R}^2 \), hallamos \( M(x)=\frac{\partial}{\partial x}f(x,y) \) y \( N(y)=\frac{\partial}{\partial y}f(x,y) \) que por supuesto cada una está definida en un subconjunto de \( A \), a saber \( B\subseteq A \) para \( M \) y \( C\subseteq A \) para \( N \) (con la posibilidad de \( B=C\subseteq A \)), entonces ¿sobre qué conjunto debemos probar que las funciones \( M(x) \) y \( N(y) \) son continuas? ¿Sobre \( A \) o sobre los conjuntos en donde las parciales están definidas?

Gracias!! Me ayudarías un montón.

Saludos

[liamhr]

Muy buenas tardes a todos, quisiera que me dieran una idea sobre cómo podría resolver este ejercicio, dice así:
Mostrar que cada una de las siguientes funciones es diferenciable en cada punto de su dominio:
a) \(  f(x,y)= \displaystyle\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}  \)
b) \(  f(x,y)= \displaystyle\frac{x}{y} + \displaystyle\frac{y}{x}  \)

Cómo muestro lo que pide?

Hay un teorema elemental de calculo diferencial vectorial que dice que si una función vectorial tiene derivadas parciales continuas entonces tiene derivada de Fréchet. Con eso el resultado es inmediato.

¿Podrías explicar mejor ese teorema que dices? No lo hemos visto y no lo entiendo yo tampoco.

[delmar]

Hola

Ambas funciones están definidas para \( (x,y)\neq{(0,0)}\Leftrightarrow{x\neq{0} \ \wedge y\neq{0}} \)

El teorema que se aplica dice :

Si un campo escalar \( f:S\rightarrow{R}, \ S\subseteq{R^n} \) esta definido en una n-bola de radio r en torno a un punto \( \vec{x}\in{S} \) y existen las derivadas parciales en cada punto de la n-bola y son continuas en \( \vec{x} \) entonces f es diferenciable en \( \vec{x} \)

En este caso n=2, hay que averiguar si existen las derivadas parciales \( D_1f(x,y), \ D_2f(x,y) \) y luego averiguar si son continuas.

Saludos

[Masacroso]

Hola Masacroso! Nos fuimos de MSE y volvimos al foro a discutir

Hay algo que nunca logré comprender ciento por ciento, y es la siguiente condición que escribís:

(...) si una función vectorial tiene derivadas parciales continuas (...)

¿Qué significa que una función [vectorial] tenga "derivadas parciales continuas"?

Yo pienso en lo siguiente. Tenemos \( f(x,y) \) definida en un conjunto \( A\subseteq\Bbb{R}^2 \), hallamos \( M(x)=\frac{\partial}{\partial x}f(x,y) \) y \( N(y)=\frac{\partial}{\partial y}f(x,y) \) que por supuesto cada una está definida en un subconjunto de \( A \), a saber \( B\subseteq A \) para \( M \) y \( C\subseteq A \) para \( N \) (con la posibilidad de \( B=C\subseteq A \)), entonces ¿sobre qué conjunto debemos probar que las funciones \( M(x) \) y \( N(y) \) son continuas? ¿Sobre \( A \) o sobre los conjuntos en donde las parciales están definidas?

Gracias!! Me ayudarías un montón.

Saludos

Sobre A. Si existe algún punto donde alguna derivada parcial no está definida entonces la función no es diferenciable, ya que se define a una función de diferenciable cuando es diferenciable en cada punto de su dominio.

Por otro lado si una función es Fréchet-diferenciable (que es la noción que se suele usar por defecto para hablar de derivadas de funciones entre espacios de Banach) entonces su derivada es representable por sus derivadas parciales en lo que se conoce como matriz de Jacobi (no confundir con el término jacobiano que se suele referir al determinante de la matriz de Jacobi).