Autor Tema: Analizar la validez del razonamiento \(p\to q;\;q\to r\vee s;\;r\therefore p\)

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18 Julio, 2019, 03:03 am
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manooooh

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Hola!

Tenemos el enunciado:



Dado el siguiente texto, analizar la validez del razonamiento:

Si llueve, Pablo va al cine. Siempre que Pablo va al cine, compra pochoclo o helado. Pablo compra pochoclo. Por lo tanto, llueve.




Spoiler
No nos dice nada del conjunto universal, por lo que entiendo NO es necesario mencionarlo. Supongamos que lo debemos escribir. ¿Cuál sería el conjunto universal en este caso? :-\ Tenemos cosas como personas, como la lluvia, como un cine... ¿qué propiedad en común tienen todas estas cosas? :banghead:
[cerrar]

Estoy trabado. Planteé lo siguiente:

\( p=\text{Hoy llueve} \)

\( q=\text{Pablo va al cine} \)

\( r=\text{Pablo compra pochoclo} \)

\( s=\text{Pablo compra helado} \)

El razonamiento a analizar asociado al texto es:

\( \begin{array}{l}p\to q\\q\to r\vee s\\r\\\hline\therefore p\end{array} \)

¿Hasta aquí bien?

Creo que el razonamiento es inválido. Para ello elijamos un conjunto de premisas tal que la conclusión sea falsa.

Consideremos que hoy no llueve, que Pablo va al cine, compra pochoclo y compra helado. La primera premisa es cierta (porque \( \mathrm{F}\to\mathrm{V} \) es verdadero), también la segunda (pues \( \mathrm{V}\to\mathrm{V}\vee \mathrm{V} \) también lo es) y por último la tercera premisa es verdadera (pues \( r \) lo es). Sin embargo, la conclusión es FALSA, porque hoy no llueve.



¿Está bien justificado? ¿Existe un contraejemplo como el que acabo de dar?

No entiendo bien cómo yo elegí un contraejemplo válido pues ¡¡¡todas las proposiciones no dependen de ninguna variable!!! Parecería que ya estuviesen particularizadas (en Pablo, en que hoy llueva, ...), ¿verdad?

Spoiler
¿Cuál sería el error en esta justificación de que el razonamiento a analizar es VÁLIDO?:

Por la premisa \( 3 \) sabemos que \( v[r]=\mathrm{V} \).

Luego por ser la 2da línea una premisa, tenemos que \( v[q\to r\vee s]=\mathrm{V} \) y como \( v[r]=\mathrm{V} \) luego \( v[\mathrm{V}\vee s]=\mathrm{V} \), entonces el condicional se convierte en \( v[q\to\mathrm{V}]=\mathrm{V} \), entonces \( v[q]=\mathrm{V} \).

Finalmente, como \( v[p\to q]=\mathrm{V} \) y \( v[q]=\mathrm{V} \) (por la deducción anterior), necesariamente ha de ser \( v[p]=\mathrm{V} \).

¿Cuáles son los errores? Entiendo que no necesariamente pueden ocurrir muchas cosas (como que de \( v[q\to\mathrm{V}]=\mathrm{V} \) se deduzca \( v[q]=\mathrm{V} \) (puede ser \( v[q]=\mathrm{F} \) también), o que \( v[p]=\mathrm{F} \)).
[cerrar]

Gracias!! Me cuesta este ejercicio pues es algo distinto a los anteriores :banghead:.

Saludos

18 Julio, 2019, 11:27 pm
Respuesta #1

geómetracat

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Está todo bien. No es necesario introducir ningún universo, porque tu formalización del razonamiento (que es la más natural en este caso) usa lógica proposicional, y no lógica de primer orden.
Esto también se aplica al comentario que haces de que las proposiciones no dependen de ninguna variable: en lógica proposicional no hay variables para los objetos ni cuantificadores.

Sobre el segundo spoiler... pues tú mismo te contestas. Los errores en la supuesta justificación de la validez del razonamiento es que si tienes un condicional \( p \rightarrow q \) y \( v \) es una valuación tal que \( v(p \rightarrow q) = V \) y \( v(q)=V \), de ahí no puedes concluir que \( v(p)=V \), podría pasar perfectamente que \( v(p)=F \).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

19 Julio, 2019, 03:39 am
Respuesta #2

manooooh

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Hola

Gracias geómetracat!

Una última duda:

No es necesario introducir ningún universo, porque (...)

"No es necesario" no es lo mismo que "No debés". Así que técnicamente sí que se podría definir un conjunto universal, pero ¿cómo? No se me ocurre nada porque no encuentro una propiedad común a todas las proposiciones declaradas.

Saludos

22 Julio, 2019, 05:57 am
Respuesta #3

manooooh

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¿Se podrá definir un conjunto universal bajo esas proposiciones? :o

Gracias y saludos

22 Julio, 2019, 07:11 am
Respuesta #4

geómetracat

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Perdón, no vi el mensaje anterior. A mí la verdad es que no se me ocurre ningún conjunto universal ni una formalización en lógica de primer orden adecuada. Creo que quedaría como poco muy forzado y extraño.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)