[R_Gauss]

Buenos días,

Hay una sucesión que me tiene confundido. Necesito demostrar que \( \{q_n\} \) converge donde \( q_n=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2+n^2} \), ¿Qué pueden afirmar de \( \{nq_n\} \)

Agradezco sus colaboraciones
Saludos,

[ingmarov]

Hola

Puedes empezar comparando esa serie con la serie p,

\( \displaystyle\sum_{i=1}^n{\dfrac{1}{n^2}} \)


Saludos

[R_Gauss]

Hola,
Sabemos que
\( k^2+n^2>n^2 \), luego, \( \frac{1}{k^2+n^2}<\frac{1}{n^2} \) entonces:

\( \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2+n^2}<\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n^2} \) Allí podríamos aplicar el teorema que dice: si \( 0<a_n<b_n \) y \( b_n \) converge, entonces \( a_n \) también converge. ¿Es cierto eso? Pues, \( \frac{1}{n^2} \) converge.

Saludos

[ingmarov]

Así es

[Juan Pablo Sancho]

Para \( n \cdot q_n  \) toma que \( \displaystyle n \cdot q_n = \sum_{k=1}^n \dfrac{n}{n^2+k^2} = \dfrac{1}{n} \cdot \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{1+(\frac{k}{n})^2}  \).
Y sumas de Riemann.