Autor Tema: Racionales

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

16 Julio, 2019, 06:54 pm
Leído 644 veces

R_Gauss

  • Novato
  • Mensajes: 159
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola. Pasaba por aquí para saber si podrían darme una mano con estos ejercicios sobre convergencia y Cauchy. Dice así:

1. Sean \(  \{r_n\} \) y\(  \{s_n\} \) sucesiones de números racionales que convergen a r y s respectivamente. Suponga que existe un \( N\in{\mathbb{N}} \) con \( r_n\leq{s_n}  \) para todo \( n\geq{N} \).  Demuestre que \( r\leq{s} \)

2. Dados dos números racionales p y q. Cómo demuestro que el \( max\{ p,q\}=1/2(p+q+|p-q|) \)

Agradezco sus colaboraciones,

Saludos.

16 Julio, 2019, 08:27 pm
Respuesta #1

delmar

  • Moderador Global
  • Mensajes: 2,106
  • País: pe
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

1. Por reducción al absurdo. Se supone que s<r, en esas circunstancias \( \exists{\epsilon_r} \ / \ 0<\epsilon_r<r-s\Rightarrow{s<r-\epsilon_r} \) Inec. 1, en esas condiciones \( \exists{\epsilon_s} \ / \ 0<\epsilon_s<r-\epsilon_r-s\Rightarrow{s+\epsilon_s<r-\epsilon_r} \) Inec. 2

La definición de límite implica :

\( \exists{N'\in{Z^+}} \ / \ r_n\in{N(r,\epsilon_r)} \ \ si \ \ n\geq{N'} \)

\( \exists{N''\in{Z^+}} \ / \ s_n\in{N(s,\epsilon_s)} \ \ si \ \ n\geq{N''} \)

Donde \( N(r,\epsilon_r), \ N(s,\epsilon_s) \) son entornos de r y de s de radios \( \epsilon_r \) y \( \epsilon_s \) respectivamente.


Denominando M el \( max\left\{{N,N',N''}\right\} \) se tiene :

Si \( n\geq{M} \) entonces \( r_n\in{N(r,\epsilon_r)} \) y \( s_n\in{N(s,\epsilon_s)} \) en consecuencia se cumple la inecuación 2, es decir :

\( s_n<s+\epsilon_s<r-\epsilon_r<r_n\Rightarrow{s_n<r_n} \) lo cual es un absurdo por que por hipótesis \( r_n\leq{s_n} \)

Para el segundo problema considera que \( p\geq{q} \) esto implica \( p-q\geq{0} \)

Saludos

17 Julio, 2019, 04:49 pm
Respuesta #2

R_Gauss

  • Novato
  • Mensajes: 159
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola delmar,

te agradezco la colaboración,


saludos,