[R_Gauss]

Buenos días,
Les escribo por la cuestión de un punto,dice así:
Demuestre:

Sea \( r\in{Q} \) fijo. Pruebe que existen enteros m y n tales que:  \( m<r<n \)

Quizá pueda aplicar la propiedad arquimediana para los números racionales, ¿cómo?

Agradezco sus colaboraciones,

Saludos,

[Masacroso]

Buenos días,
Les escribo por la cuestión de un punto,dice así:
Demuestre:

Sea \( r\in{Q} \) fijo. Pruebe que existen enteros m y n tales que:  \( m<r<n \)

Quizá pueda aplicar la propiedad arquimediana para los números racionales, ¿cómo?

Agradezco sus colaboraciones,

Saludos,

Observa que si \( r\in\Bbb Q \) entonces existe \( q\in\Bbb N_{>0} \) y \( p\in\Bbb Z \) tales que \( r=p/q \).

Sin pérdida de generalidad considera que \( r\ge 0 \), entonces es fácil demostrar que \( -1<r \), y también que \( r<p+1 \).

[R_Gauss]

Hola Masacroso,
Gracias por la respuesta,
Sin embargo, me faltó especificar que dichos enteros deben ser positivos, es decir:

Sea \( r\in{Q} \) fijo. Pruebe que existen enteros m y n  Positivos tales que:  m<r<n


¿Se cumple su argumento? Pues no veo claramente cómo demostrar que \( r>-1 \) es decir, ¿habría que demostrar que, entre 0 y r hay un entero?

Saludos,

[delmar]

Hola

Hola Masacroso,
Gracias por la respuesta,
Sin embargo, me faltó especificar que dichos enteros deben ser positivos, es decir:

Sea \( r\in{Q} \) fijo. Pruebe que existen enteros m y n  Positivos tales que:  m<r<n
 

Ese enunciado es INCORRECTO, un contraejemplo \( r=-1\in{Q} \). Todo entero menor que  r=-1 es menor que cero. En consecuencia no existe un entero positivo menor que r=-1


Saludos

[R_Gauss]

Hola delmar,
tienes razón. Efectivamente el enunciado es INCORRECTO. Estaba divagando entre la posibilidad de que sean positivos o negativos los enteros, pues no comprendo con facilidad la demostración que propone Masacroso con \( r\geq{0} \) demostrar específicamente que \( r>-1 \), creo que eso se tiene por el mismo enunciado. Es enunciado queda:

Sea \( r\in{\mathbb{Q}} \) fijo. Pruebe que existen enteros m y n tales que:  \( m<r<n \)

Saludos,

[delmar]

Demostración que existe un entero mayor que r

Si \( r\in{Q} \) se tienen 2 alternativas :

A) \( r>0 \),  B)\( r\leq{0} \)

Consideración A)

Siempre ha de existir un entero positivo m tal que \( r<m \), en caso contrario \( Z^+ \) sería un conjunto acotado superiormente, lo cual constituye un absurdo.

Consideración B)
\( r\leq{0}<1\Rightarrow{r<1} \), en consecuencia existe un entero positivo \( m=1 \) tal que \( r<m \)

Por lo tanto \( \forall{r}\in{Q}, \ \ \exists{m}\in{Z^+} \ / \ r<m \)

De una manera semejante se demuestra la segunda parte.

Saludos