Hola
Buenas.
Me están pidiendo lo siguiente:
Sea y+1=√4x+3 la ecuación de una curva. Determinar la expresión y'x y calcular la ecuación de la recta tangente a la curva dada que es perpendicular a la recta x+2x-11=0.
Tienes que cuidar la escritura de los mensajes, usando
LaTeX para las fórmulas como se indica en las
reglas del foro. Tal como lo has escrito no se entiende bien.
Supongo que te refieres a la curva dada por:
\( y+1=\sqrt{4x+3} \)
y te piden \( y'(x) \) y la tangente que es perpendicular a \( x+2y-11=0 \).
Si derivamos la ecuación de la curva con respecto a \( x \) te queda:
\( y'(x)=\color{red}\cancel{\dfrac{2x}{\sqrt{4x+3}}}\dfrac{2}{\sqrt{4x+3}}\color{black} \)
Nota que esa es la pendiente de la tangente a la curva en el punto de abcisa \( x \).
La pendiente de la recta dada \( y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{11}{2} \) es \( -1/2 \). Dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es \( -1 \).
Entonces imponemos:
\( -\dfrac{1}{2}\cdot y'(x)=-1\quad \Leftrightarrow{}\quad y'(x)=2 \)
\( \color{red}\cancel{\dfrac{x}{\sqrt{4x+3}}=1}\color{black},\qquad \color{red}\dfrac{1}{\sqrt{4x+3}}=1\color{black} \)
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Saludos.
CORREGIDO. Gracias iambo.
