[Zaragoza]

Sea una matriz simétrica de orden 2.
Determinar la matriz inversa de A si se sabe que \( A^2+(2A) ^{T} +I=0 \)

[ingmarov]

Hola Miguel Bienvenido!

A ver

\( A^2+(2A)^T+I=0 \)

Por ser A simétrica podemos reescribir

\( A^2+2A+I=0 \)

Me parece que debemos usar el teorema de Cayley-Hamilton, por esto  Falta considerar los signos, en un momento lo corrijo

\( \lambda^2+2\lambda+1=0 \)

Este polinomio nos dice que el determinante de A es 1, por el término independiente, y la traza es -2 por el segundo término, además tiene un valor propio (1) con multiplicidad algebraica 2.

Por todo eso diría que A es la matriz identidad de grado 2 multiplicada por -1.

¿Cuál es su inversa?



Añado la solución más obvia       

\( A^2+2A+I=0 \)

\( (A^2+A\cdot{I})+(A+I)=0 \)

\( A(A+I)+(A+I)=0 \)

\( A(A+I)+I(A+I)=0 \)

\( (A+I)(A+I)=0 \)

\( (A+I)^2=0 \)

Por tanto A=-I

Saludos

[feriva]

También podemos multiplicar por la inversa a ambos lados.

Como dice Ingmarov, al ser simétrica, la traspuesta es la misma que si trasponer; entonces:

\( A^{-1}A^{2}+2A^{-1}A+A^{-1}=0
  \)

\( A+2I+A^{-1}=0
  \)

\( A^{-1}=-A-2I
  \)

Al tener de entrada la matriz A que nos den, basta restarle a -A la identindad multiplicada por 2.

Saludos.

[geómetracat]

Cuidado, en principio \( A+I \) podría ser una matriz nilpotente. De manera que podría pasar \( A+I \neq 0 \) pero \( (A+I)^2=0 \). En este caso concreto eso no puede pasar porque \( A \) es simétrica, pero puede pasar en ejercicios parecidos.

En general se puede hacer lo siguiente:
\( A^2+2A+I=0 \)
\( -A^2-2A=I \)
\( A(-A-2I) = I \)

Por tanto la inversa es \( A^{-1} = -A-2I \) (que cuando \( A=-I \) coincide con \( -I \), como debe ser).

Pd: Se me adelantó feriva. Esencialmente sigue  mismo método que yo, pero mi método tiene la ventaja que demuestra que \( A \) es invertible, mientras que el suyo asume la invertibilidad de entrada.

[Zaragoza]

Muchas gracias a todos por sus respuestas, hice lo mismo mas tengo una duda como se puede probar que si A es simétrica entonces A+I no es nilpotente?

[geómetracat]

Si \( A \) es simétrica, entonces \( A+I \) también lo es. Así que el asunto se reduce a ver que una matriz (real) simétrica no puede ser nilpotente.
Si \( A \) es simétrica, es diagonalizable, y si \( A \neq 0 \) algún elemento de la diagonal será no nulo. Pongamos \( A = P^{-1} D P \) con \( D \) diagonal. Luego \( A^n = P^{-1} D^n P \), y como \( D \neq 0 \) entonces \( D^n \neq 0 \) y \( A^n \neq 0 \).

[Zaragoza]

Muchas gracias geómetracat y a todos en general.

[ingmarov]

Cuidado, en principio \( A+I \) podría ser una matriz nilpotente. De manera que podría pasar \( A+I \neq 0 \) pero \( (A+I)^2=0 \). ...

Es verdad, olvidé ese detalle importante.


Una forma fea de resolver podría ser proponer

\( A=\begin{bmatrix}{a}&{b}\\{b}&{c}\end{bmatrix} \)

Luego

\( A^2=\begin{bmatrix}{a^2+b^2}&{ab+bc}\\{ab+bc}&{b^2+c^2}\end{bmatrix} \)

Y

\( A^2+2A+I=\begin{bmatrix}{(a+1)+b^2}&{b(a+c+2)}\\{b(a+c+2)}&{(c+1)^2+b^2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{0}&{0}\\{0}&{0}\end{bmatrix} \)

Y eso es posible si a=c=-1      y   b=0

Mucho trabajo para encontrar A por suerte tiene una inversa fácil de "calcular".

Saludos