[castrokin]

Hola chicos estoy estudiando para un examen muy importante y me gustaría que me pudiesen ayudar con un ejercicio el cual no he podido encontrar solución

se me pide hallar la ecuación de la recta con las tres siguientes características:

a) corta la recta de ecuación \( 3x-2y+1=0 \) en el punto de abscisa \( -2 \)

b) corta a la recta de ecuación \( 5x+4y+7=0 \) en un punto de la ordenada \( 2 \)

c) es paralela a la recta de ecuación \( y=-3x \)

he encontrado como resolver el primer enunciado pero los otros dos me han dado muchos dolores de cabeza

muchas gracias por su ayuda

[ingmarov]

Hola

Una recta que cumpla con las tres características.
Yo lo resuelvo así, con los primeros dos incisos obtengo de cada uno un punto, con esos puntos ya puedo obtener la recta. Finalmente compruebo si la recta obtenida es paralela a la del inciso C confirmando que tienen igual pendiente.

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

se me pide hallar la ecuación de la recta con las tres siguientes características:

a) corta la recta de ecuación \( 3x-2y+1=0 \) en el punto de abscisa \( -2 \)

b) corta a la recta de ecuación \( 5x+4y+7=0 \) en un punto de la ordenada \( 2 \)

c) es paralela a la recta de ecuación \( y=-3x \)

he encontrado como resolver el primer enunciado pero los otros dos me han dado muchos dolores de cabeza

Dices que has encontrado somo resolver el primer enunciado; parece que consideras que son tres problemas distintos, es decir, que hay que encontrar tres rectas cada una de ellas cumpliendo una de las condiciones. Si fuese así cada uno de las condiciones independientes tiene infinitas soluciones, es decir hay infinitas rectas que lo cumplen.

Ingmarov ha entendido que el enunciado pide una recta que cumpla las tres condiciones simultáneamente. Aunque con esos datos a mi me sale que NO existe ninguna:

- El punto de la primera recta con \( x=-2 \) es \( (-2,-5/2) \).
- El punto de la segunda recta con \( y=2 \) es \( (-3,2) \)
- La recta que los une:

\( 9x+2y+23=0 \)

y NO es paralela a \( y=-3x \).

Saludos.

[castrokin]

Muchas gracias por su pronta respuesta

en efecto

- El punto de la primera recta con \( x=-2 \) es \( (-2,-5/2) \).
- El punto de la segunda recta con \( y=2 \) es \( (-3,2) \)
- La recta que los une:

\( 9x+2y+23=0 \)

Saludos.

Eso lo tengo muy claro ya que he logrado hacer los cálculos correspondientes pero al hacerlo me encuentro con una duda

si uso la ecuación punto pendiente \( y-y_1 =m(x-x_1 ) \) y sustituyendo el valor de la pendiente con \( -3 \) de la ecuación \( y=-3x \) me da como resultado la ecuación \( y=-3x-7 \) ¿esta no debería ser la ecuación de la recta solicitada?

muchas gracias chicos por su ayuda

[Luis Fuentes]

Hola

- El punto de la primera recta con \( x=-2 \) es \( (-2,-5/2) \).
- El punto de la segunda recta con \( y=2 \) es \( (-3,2) \)
- La recta que los une:

\( 9x+2y+23=0 \)

Saludos.

Eso lo tengo muy claro ya que he logrado hacer los cálculos correspondientes pero al hacerlo me encuentro con una duda

Si te queda claro, deberías de tener igualmente claro que NO existe una recta que cumpla simultáneamente las tres condiciones exigidas.

si uso la ecuación punto pendiente \( y-y_1 =m(x-x_1 ) \) y sustituyendo el valor de la pendiente con \( -3 \) de la ecuación \( y=-3x \) me da como resultado la ecuación \( y=-3x-7 \) ¿esta no debería ser la ecuación de la recta solicitada?

¿Qué punto \( (x_1,y_1) \) tomas?. Si tomas \( (-2,-5/2) \) verás que la recta obtenida no pasa por \( (-3,2) \); si tomas \( (-3,2) \) verás que la recta obtenida no pasa por \( (-2,-5/2). \)

Es decir debido a que NO existe una recta en las condiciones dadas, si impones que se cumplan dos de las tres condiciones siempre fallará la tercera.

Saludos.

[feriva]

Hola, castrokin. Voy a hacer yo también el problema, a ver qué me sale.

\( 3x-2y+1=0
  \) la recta que se busca es cortada por ésta en el punto (-2,y)

\( 5x+4y+7=0
  \) es cortada en (x,2)

es paralela a la recta \( x=-3y
  \)

...

Una recta queda definida si tenemos un vector un un punto. La recta paralela nos sirve para obtener el vector director de la recta que buscamos.

Haciendo x=t, dicho vector es de la forma \( (t,-\dfrac{t}{3})
  \) o, multiplicando por 3, también \( (3t-t)
  \); nos vale elegir, haciendo t=1, el vector \( (3,-1)
  \).

Ahora, para tener la ecuación de la recta buscada, necesitamos también un punto; para obtenerlo nos basamos en las condiciones que no dan en los dos primeros apartados.

Sustituyendo x por -2 en la primera ecuación, obtenemos lo que debe valer la coordenada “y”, con lo que ya tendremos un punto para escribir la ecuación de la recta:

\( 3(-2)-2y+1=0
  \)

\( y=\dfrac{5}{-2}
  \); un punto de la recta buscada es, por tanto, \( (-2,-\dfrac{5}{2})
  \).

Con esto, ya podemos escribir directamente la ecuación en forma vectorial

\( (x,y)=(-2,\dfrac{5}{-2})+\lambda(3,-1)
  \)

Hasta aquí ya tendríamos la recta, existiría, pero nos dan un dato más que en principio no hace falta porque ya tenemos la ecuación; ¿por qué nos dan entonces ese dato? Por algo será.

Hallamos ese putno que también debe pertenecer a la recta

Sustituimos “y” por “2” en la segunda ecuación

\( 5x+8+7=0
  \), y así \( x=-3 \), y tenemos el punto \( (-3,2)
  \).

Como este punto es de la recta, ha de funcionar en su ecuación, así que sustituimos

\( (x,y)=(-2,\dfrac{5}{-2})+\lambda(3,-1)
  \)

\( (-3,2)=(-2,\dfrac{5}{-2})+\lambda(3,-1)
  \)

Para la primera coordenada tenemos la igualdad

\( -3=-2+3\lambda
  \) o sea, despejando \( \lambda=-\dfrac{1}{3}
  \)

pero para la segunda tenemos

\( 2=-\dfrac{5}{2}-\lambda
  \) o sea, que ahora lambda es un valor distinto, da \( \lambda=-\dfrac{5}{2}-2=-\dfrac{9}{2}
  \).

No existe un mismo lambda para las dos coordenadas; el enunciado pide una cosa imposible.

(revisa las cuentas en cualquier caso, independientemente de la respuesta; que suelo despistarme).

Saludos.