[gerardoatg]

Buenas.
En un ejercicio de optimización, me están pidiendo:
Determinar las dimensiones del cono de volumen máximo inscrito en una esfera de radio 5m.

¿Qué podría hacer en este caso?

¡Gracias!

[ingmarov]

Hola

A ver

Tenemos la esfera centrada en el origen y al cómo con el eje x como eje propio. Su vértice toca a la esfera en x=-5.
Sea \( \theta \) el ángulo entre el eje x y un segmento desde el origen a la esfera, donde la base del cono toca la esfera.

Entonces el volumen del cono es

\( V=\frac{1}{3}(5+5cos\theta)\cdot\pi(5sen\theta)^2 \)

Entonces la pregunta es ¿Para qué ángulo el volumen es máximo?

¿Sabes sobre derivadas?

Saludos

[gerardoatg]

Ummm todavía no sé derivar la verdad

[ingmarov]

Otra forma de expresar el volumen en función de x es

Primero planteamos la ecuación de la circunferencia y despejamos \( y^2 \)

\( x^2+y^2+25\quad\Rightarrow\quad y^2=25-x^2 \)

y es el radio de la base del cono

Entonces el volumen es
faltaba pi

\( V=\frac{1}{3}(5+x){\bf\color{red}\pi}(25-x^2) \).      donde \( -5<x<5 \)


Si no sabes de derivadas puedes hacer una tabla y aproximar en qué valor de x sucede el máximo volumen.

Spoiler

En la fórmula x es la coordenada del punto C en esta imagen. 5+x es la altura del cono.
y es el radio de la base del cono


Creo que el volumen máximo de da cuando \( \bf x=\pm 5/3 \)

[cerrar]