[iannuevo]

Hola, estoy necesitando ayuda ya que no se como resolver este ejercicio ni como encararlo sobre desarrollo en serie de Laurent.


Desarrollar la función   \( f(z)=\frac{1}{z^2+1} \)
en serie de Laurent en un entorno reducido de \( z=i \). Obtener radio de convergencia de la serie.


Pero no se como abordarlo, lo que hice fue intentar llegar a una funcion que me pueda permitir usar la serie geométrica

\( \sum_{n=0}^\infty{z^n} = \frac{1}{1-z} \)

Para lo que reemplace \( z^2=-w \)

Y así tengo una forma tipo \( \frac{1}{1-w} \) a partir de la cual desarrollar la serie geométrica. También puedo saber que \( iw=z \), que seguro es un dato que me va a servir y no se como usarlo.

Pero ya no se como seguir.

Espero que puedan ayudarme, yo no estoy pudiendo avanzar.

Muchas gracias y un saludo.

[ingmarov]

Hola

Utiliza fracciones parciales,

\( \dfrac{1}{(z+i)(z-i)}=\dfrac{A}{z+i}+\dfrac{B}{z-i} \)

Creo que el único término con potencia negativa será  \( \dfrac{B}{z-i} \),.  El otro término lo puedes reescribir en una forma que puedas aprovechar la serie geométrica para encontrar su serie de Taylor.

Por ejemplo

\( \dfrac{1}{z+i}=\dfrac{1}{2i+(z-i)}=\dfrac{1}{2i}\Big(\dfrac{1}{1-\frac{-(z-i)}{2i}}\Big) \)


Saludos

[Masacroso]

Lo dejado en el spoiler es erróneo, ya que la fórmula dejada sólo sirve para calcular expansiones de Laurent en ánulos alrededor del cero, no en ánulos alrededor de \( i \). Se puede ajustar la respuesta dejada en el spoiler usando una traslación en el plano complejo de \( f(z):=(1+z^2)^{-1} \), es decir, utilizando la función \( g(w):=f(w+i) \) con \( w:=z-i \), entonces una expansión de Laurent de \( f \) alrededor de \( i \) es equivalente a una expansión de Laurent de \( g \) alrededor del cero.

Una vez hallada la expansión de \( g \) entonces cambiando \( w \) por \( z-i \) nos deja la expansión de Laurent deseada de \( f \), es decir, una serie expresada en potencias del tipo \( c_n (z-i)^n \).

Mi confusión vino del hecho de que tenía entendido que las series de Laurent se definían sólo en potencias del tipo \( c_n z^n \), en semejanza a la serie de MacLaurin, pero consultando diversas fuentes veo que no es así para nada, sino que las serie de Laurent son una generalización de las series de Taylor, y al igual que éstas se pueden definir alrededor de cualquier punto \( a \) del plano complejo, no sólo del cero, entonces la serie viene expresada en potencias del tipo \( c_n (z-a)^n \).

Veo que ingmarov ya había tenido en cuenta la traslación en su respuesta al proponer la expansión de \( \frac1{z+i} \).

esto no es correcto

Lo erróneo del siguiente planteamiento es que no existe una forma de hallar una representación de la función \( f(z):=(1+z^2)^{-1} \) en un entorno reducido de \( i \) usando una expansión de Laurent alrededor del cero.

Como te dice ingmarov puedes descomponer la función en fracciones por partes y luego aplicar la conocida fórmula para los coeficientes de la expansión de Laurent de una función \( f \):

\( \displaystyle c_n=\frac1{2\pi i}\int_{C}\frac{f(z)}{z^{n+1}},\quad n\in\Bbb Z \)

donde \( C \) es un contorno alrededor del cero.

Dejando el factor \( z^{-n-1} \) de lado al separar en fracciones te quedan dos integrales, una de ellas siempre nula dado el contorno, y la otra fácil de calcular usando la fórmula integral de Cauchy.

[cerrar]

EDICIÓN: he editado la respuesta original, que era confusa y estaba mal redactada, a esta que viene a decir lo mismo de manera mucho más clara.