[Demagarian]

Hola a todos! Quisiera solicitar de su ayuda para poder resolver el siguiente ejercicio y les dejo hasta donde llegué.



Una partícula puntual de masa \( m_1 \) se desliza horizontalmente sin rozamiento con velocidad \( v \)
sobre una plataforma como se indica en la figura. En la posición \( x=0 \) tiene un choque elástico
con otra partícula puntual de masa \( m_2 \) que estaba inicialmente en reposo. Luego del choque, la
partícula de masa \( m_2 \) se desplaza una distancia \( D \) para después comprimir un resorte ideal de
longitud en reposo \( L_0 \). En el momento de máxima compresión, el resorte tiene una longitud \( L_0/2 \).

a) Calcule el coeficiente k del resorte.

Lo que yo realicé fue lo siguiente:
Plantié Planteé las ecuaciones de choque elástico y sabiendo que no habrá pérdidas de energía, pude concluir que la Energía Potencial Elástica en el momento de máxima compresión, sumada a la Energía Cinética de la partícula \( m_1 \) después del choque, debería ser igual a la Energía Cinética de la partícula \( m_1 \) previo al choque. Teniendo:
\( k.L_0^2 /4 + m_1 V^2_1=m_1 V^2 \)
El problema lo tengo ahora en poder despejar \( V_1 \) en función de \( V , m_1 , m_2 \)

Adjunto la figura del problema.
Gracias!

[delmar]

Hola

La relación ha la que has llegado es correcta. Para determinar \( V_1 \) se ha de considerar, lo que se cumple durante el choque. A saber, conservación de la energía cinética y de la cantidad de movimiento del sistema (bola 1 y bola 2), detallando :

\( \displaystyle\frac{1}{2} \ m_1V^2=\displaystyle\frac{1}{2}m_1V_1^2+\displaystyle\frac{1}{2}m_2V_2^2 \)                      Conservación de la energía

\( m_1V=m_1V_1+m_2V_2 \)                                 Conservación de la cantidad de movimiento

Denominando:  \( \eta = \displaystyle\frac{m_1}{m_2} \), las ecuaciones adoptan la forma :

\( \eta V^2= \eta V_1^2+V_2^2\Rightarrow{V_2^2=\eta V^2- \eta V_1^2} \) Ec. 1

\( \eta V=\eta V_1+V_2\Rightarrow{V_2=\eta V-\eta V_1} \)  Ec. 2

Elevando al cuadrado la Ec. 2 y utilizando la Ec. 1 se tiene :

\( \eta V^2- \eta V_1^2=\eta^2 (V-V_1)^2 \)

De esta ecuación puedes hallar el valor de \( V_1 \) y con ello K

Saludos

[Demagarian]

Hola delmar.

Al realizarlo antes, había llegado a lo mismo, pero dudé en si estaba yendo por el camino correcto ya que concluía en una cuadrática (lo cual tenía que aplicar una formula resolvente bastante engorrosa).

\( ηV^2 - ηV_1^2 - η^2 V^2 +2 η^2 V V_1 -η^2 V_1^2 =0 \)

Lo realicé usando el WolframAlpha y concluyó en lo siguiente:

\( V = V_1 (\frac{\frac{m_1}{m_2}-1}{\frac{m_1}{m_2}+1}) \) La cual me pareció un resultado que devolvia los valores lógicos.

Asique supongo que fue solo falta de conocimientos matemáticos lo que me llevo a pensar que habría que ir por otro camino.
 
Gracias delmar!

[delmar]

En la respuesta que das hay un pequeño error tipográfico, la respuesta es :

\( V_1=V(\displaystyle\frac{\eta-1}{\eta +1}) \) donde \( \eta=\displaystyle\frac{m_1}{m_2} \)

La ecuación a partir de la cual se despeja \( V_1 \) se puede simplificar, muestro una forma :

\( \eta V^2-\eta V_1^2=\eta^2 \ (V-V_1)^2 \)

Dividiendo entre \( \eta \) y factorizando :

\( (V-V_1) \ (V+V_1)=\eta (V-V_1)^2 \)

Eliminando el factor común :

\( V+V_1=\eta (V-V_1)\Rightarrow{\eta V_1+V_1=\eta V-V} \)

Finalmente despejando \( V_1 \) se tiene :

\( V_1=V(\displaystyle\frac{\eta-1}{\eta +1}) \)

Saludos

[Demagarian]

Gracias delmar!! Muy util.