[AlexFeynman]

Buenas tardes.

Si consideramos una sucesión estrictamente creciente  [texx]a_{n+1} > a_n[/texx] se puede decir que [texx]1 > \displaystyle\frac{a_n}{a_{n+1}}[/texx] pero ¿por qué no siempre [texx]1 > \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{a_n}{a_{n+1}}}[/texx]?. Por ejemplo, los enteros positivos [texx]a_n = n[/texx] son una sucesión estrictamente creciente y sin embargo [texx]1 = \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{a_n}{a_{n+1}}}[/texx].

Saludos.

[Juan Pablo Sancho]

Supongo te refieres a sucesiones positivas, pones exactamente un ejemplo, \( a_n = n \) es estrictamente creciente y \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \dfrac{a_{n+1}}{a_n} = 1 \).
Las sucesiones positivas que cumplen\( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \dfrac{a_n}{a_{n+1}} < 1 \) son aquellas que divergen a \( +\infty \) a una velocidad como mínimo  de una progresión geométrica.

[Luis Fuentes]

Hola

Si consideramos una sucesión estrictamente creciente  [texx]a_{n+1} > a_n[/texx] se puede decir que [texx]1 > \displaystyle\frac{a_n}{a_{n+1}}[/texx] pero ¿por qué no siempre [texx]1 > \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{a_n}{a_{n+1}}}[/texx]?. Por ejemplo, los enteros positivos [texx]a_n = n[/texx] son una sucesión estrictamente creciente y sin embargo [texx]1 = \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{a_n}{a_{n+1}}}[/texx].

Pero tu mismo pones un ejemplo qué muestra que efectivamente de:

[texx]1 > \displaystyle\frac{a_n}{a_{n+1}}[/texx]

no se sigue necesariamente que:

 [texx]1 > \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{a_n}{a_{n+1}}}[/texx]

En general si se tiene una sucesión convergente \( \{x_n\} \) tal que \( x_n>k \) para todo \( n \),  se puede afirmar que:

\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}x_n\geq k \) (intenta dar una prueba de esto)

pero no que necesariamente:

\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}x_n> k \)  (por ejemplo \( x_n=1/n \)).

Saludos.