[antonella]

HOLA

Estuve viendo la demostracion http://fernandorevilla.es/blog/2014/05/18/suma-directa-de-las-funciones-pares-e-impares/  y hay algo que no puedo entender en el razonamiento, en la parte donde se demuestra que El espacio de funciones E esta formado por la suma directa de funciones pare e impares; y plantea que : si F(x)= f_1(x) +f_2(x) (f1 son las funciones pares y f2 las impares)  (osea plantea que si el espacio E de funciones es la suma de funciones pares e impares, entonces yo puedo descomponer cualquier funcion de E con una parte par y otra impar).
y si yo ahora evaluo a esa F(X) Pero con (-x) me queda F(-X)=f_1(x) - f_2(x) . Bueno hasta alli voy bien, se esta suponiendo que de ser cierto que E Es la suma directa de funcioens pares e  impares, entonces cualquier funcion se puede descomponer con una parte par e impar y si yo evaluo en ves de x con una -x consigo la segunda ecuacion , Pero continua diciendo ¨ahora voy a sumar y restar ambas igualdades¨ (desde este punto ya me pierdo), ¿para que suma y resta ambas igualdades? ¿ cual seria el razonamiento para hacerlo? , solo despejar F_1 y F_2 para saber como serian si ¨fuera verdad que las funciones de E estan compuestas por una funcion par y una impar¨? , ¿al plantear la funcion generica con un x y luego con un -x lo que se hace es garantizar que esto abarque a todos y cualquier numero Real?

[Fernando Revilla]

Bienvenida al foro.

Pero continua diciendo ¨ahora voy a sumar y restar ambas igualdades¨ (desde este punto ya me pierdo), ¿para que suma y resta ambas igualdades? ¿ cual seria el razonamiento para hacerlo? , solo despejar F_1 y F_2 para saber como serian si ¨fuera verdad que las funciones de E estan compuestas por una funcion par y una impar¨? , ¿al plantear la funcion generica con un x y luego con un -x lo que se hace es garantizar que esto abarque a todos y cualquier numero Real?

Primero, estamos demostrando que si (condicional) una función \( f \) es suma de una par y otra impar, necesariamente la par es \( f_1(x)=\dfrac{1}{2}\left(f(x)+f(-x)\right) \) y la impar \( f_2(x)=\dfrac{1}{2}\left(f(x)-f(-x)\right) \). Posteriormente demostramos que \( f_1 \) es par, \( f_2 \) impar y que \( f=f_1+f_2 \), lo cual completa que \( E=\mathcal{P}+\mathcal{I} \).

[antonella]

Bienvenida al foro.

Pero continua diciendo ¨ahora voy a sumar y restar ambas igualdades¨ (desde este punto ya me pierdo), ¿para que suma y resta ambas igualdades? ¿ cual seria el razonamiento para hacerlo? , solo despejar F_1 y F_2 para saber como serian si ¨fuera verdad que las funciones de E estan compuestas por una funcion par y una impar¨? , ¿al plantear la funcion generica con un x y luego con un -x lo que se hace es garantizar que esto abarque a todos y cualquier numero Real?

Primero, estamos demostrando que si (condicional) una función \( f \) es suma de una par y otra impar, necesariamente la par es \( f_1(x)=\dfrac{1}{2}\left(f(x)+f(-x)\right) \) y la impar \( f_2(x)=\dfrac{1}{2}\left(f(x)-f(-x)\right) \). Posteriormente demostramos que \( f_1 \) es par, \( f_2 \) impar y que \( f=f_1+f_2 \), lo cual completa que \( E=\mathcal{P}+\mathcal{I} \).

)
MUCHAS GRACIAS FERNANDO, pero cuando usted evalua primero a esa f(x) con x y despues la evalua en (-x) esto se esta haciendo para garantizar que la demostracion es para todos los numeros reales no?,

y despues cual seria la logica para sumar [F(X)= f1(X)+f2(x)] + [F(-x)= f1(-x)+f2(-x)]  y  restar [ F(X)= f1(X)+f2(x)]  - [F(-x)= f1(-x)+f2(-x)] ; Se que con estas operaciones consigo como deberian ser f1 y f2 para que una funcion de E se pueda descomponer en estas (osea en pares e impares). pero cual seria el razonamiento para llegar  a hacer  estas 2 operaciones ?

[Luis Fuentes]

Hola

MUCHAS GRACIAS FERNANDO, pero cuando usted evalua primero a esa f(x) con x y despues la evalua en (-x) esto se esta haciendo para garantizar que la demostracion es para todos los numeros reales no?,

No. El hecho de hacer intervenir \( f(-x) \) tiene que ver con hacer intervenir que las funciones sean pares o impares ya que estos conceptos indican la relación entre \( f(x) \) y \( f(-x) \).

y despues cual seria la logica para sumar [F(X)= f1(X)+f2(x)] + [F(-x)= f1(-x)+f2(-x)]  y  restar [ F(X)= f1(X)+f2(x)]  - [F(-x)= f1(-x)+f2(-x)] ; Se que con estas operaciones consigo como deberian ser f1 y f2 para que una funcion de E se pueda descomponer en estas (osea en pares e impares). pero cual seria el razonamiento para llegar  a hacer  estas 2 operaciones ?

No acabo de entender la duda. En definitiva el objetivo es poder hallar \( f_1(x) \) y \( f_2(x) \), es decir, las dos funciones de la descomposición a partir de la función original \( F(x) \).

Entonce es como resolver un sistema de la forma:

\( A=X+Y \)
\( B=X-Y \)

donde:

\( A\sim F(x)\quad X\sim f_1(x)\quad Y\sim f_2(x)\quad B\sim F(-x) \)

Una forma de resolverlo es sumando y restando ambas ecuaciones; pero otra sería, por ejemplo, despejar \( X \) en la primera y sustituir en la segunda; en fin...

Saludos.