[MiriamF]

Buenas, ante todo disculpad si cometo algún error pues soy nueva en este foro. Obviamente se que no se trata de resolver ejercicios ni hacer deberes, si no más bien de resolver dudas, no obstante se me plantea un ejemplo en el tema que estudio y no tengo ni idea de resolverlo; sabiendo lo expuesto, si alguien me pudiera ayudar se lo agradecería

Sea \( f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} \) la función a trozos siguiente:

\( f(x)=\begin{cases} e^{-\frac{1}{x}} & \text{si}& x>0\\0 & \text{si}& x\leq 0\end{cases} \)

(a) ¿Es \( f \) continua?. Razona la respuesta.

(b) A partir de la función \( f \) vamos a construir una nueva función  \( g:\mathbb{R}\to \mathbb{R} \) que definimos
como sigue

\( g(x)=\dfrac{f(x)}{f(x)+f(1-x)} \)

Determina el dominio de la función \( g \). ¿es continua? Razona la respuesta. ¿Para qué valores de \( x \) se cumple que \( g(x) = 1 \)?¿Para qué valores de \( x \) se cumple que \( g(x)=0 \)?

(c) A continuación construimos una nueva función \( h:\mathbb{R}\to \mathbb{R} \) a partir de \( g \)

\( h(x)=g(x+2)g(2-x) \)

¿Es \( h \) continua?¿Por qué? ¿Para qué valores de \( x \) se cumple que \( h(x)=1 \)? ¿Para qué valores de \( x \) se cumple que \( h(x)=0 \)?.

Lo siento si no se visualiza bien no manejo muy bien esto. Adjunto una foto por si acaso.
Muchas gracias
Mensaje corregido desde la administración.

[delmar]

Hola MiriamF

Bienvenida al foro

Creo que ya te das cuenta de la importancia de utilizar LATEX, para escribir las fórmulas, hay que aprender LATEX, también es conveniente que muestres que has hecho por resolver el problema, de esta manera se sabe donde esta la dificultad y la ayuda es más eficaz.

a)

Si \( x<0, \ f(x)=0 \) es decir en el intervalo \( (-\infty,0) \) la función es constante ¿es continua en este intervalo ?

Si \( x>0, \ f(x)=e^{-\displaystyle\frac{1}{x}} \), vemos que en el intervalo \( (0,+\infty) \) la función es la composición de dos funciones la exponencial \( e^x \) y la función \( -\displaystyle\frac{1}{x} \), ambas son continuas en ese intervalo ¿Que se puede decir sobre la continuidad de f(x) en ese intervalo?

Analizando la continuidad de f en x=0

¿Esta definida en x=0? Sí, lo esta, \( f(x)=0 \)

¿Existe el \( \displaystyle\lim_{x \to{ }0}{f(x)} \)?

Por ser las expresiones de f(x) distintas cuando se acerca por la derecha \( f(x)=e^{-\displaystyle\frac{1}{x}} \), que cuando se acerca por la izquierda \( f(x)=0 \), ha de averiguarse los límites por la derecha \( \displaystyle\lim_{x \to{}0+}{e^{-\displaystyle\frac{1}{x}}} \) y por la izquierda \( \displaystyle\lim_{x \to{ }0-}{0} \), en caso existan y coincidan, existe el límite ¿Existe el límite, a que es igual?

Finalmente ¿ \( \displaystyle\lim_{x \to{}0}{f(x)}=f(0) \)?

En caso afirmativo es continua en 0, en caso negativo es discontinua en 0. ¿Que te parece si lo averiguas?



Saludos