[remance]

Buenas, he estado buscando información pero no he encontrado nada al respecto, en un ejercicio de un libro me pide, que dada:
\( f(x)=1/x \)
Encontrar la serie de potencias de (x-2) que converga en f(x)

Si alguien me puede ayudar en como relacionar estos términos, porque no se me ocurre nada, se que:

\( \displaystyle\sum_{i=1}^n{a_n\cdot{(x-2)^n}} \)

No se como encontrar el coeficiente \( a_n \), no se si he de hacer algun tipo de sistema, desarollar la suma... etc

Gracias!

[Abdulai]

Sugerencia:

\( \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{x-2+2} = \frac{1}{2}\;\dfrac{1}{1+\left(\frac{x-2}{2}\right)} \)

[pgs]

Creo que más o menos se que quieres decir, pero no lo pillo del todo

Supongo que lo que queremos aprovechar es que sabemos ya hacia donde convergen la serie geométricas:

\( \displaystyle\sum_{i=1}^n{a_n\cdot{r^n}}=a\cdot{\displaystyle\frac{1-r^n}{1-r}} \)

Esto se cumple para la serie geométrica, pero para las de potencias, donde \( a_n \) va cambiando en funcion de n no se si es igual la expresión.
De ser igual, igualo a la función dada en el enunciado y ya tengo \( a_n \)

[Masacroso]

Buenas, he estado buscando información pero no he encontrado nada al respecto, en un ejercicio de un libro me pide, que dada:
\( f(x)=1/x \)
Encontrar la serie de potencias de (x-2) que converga en f(x)

Si alguien me puede ayudar en como relacionar estos términos, porque no se me ocurre nada, se que:

\( \displaystyle\sum_{i=1}^n{a_n\cdot{(x-2)^n}} \)

No se como encontrar el coeficiente \( a_n \), no se si he de hacer algun tipo de sistema, desarollar la suma... etc

Gracias!

Te piden los coeficientes de la serie de Taylor alrededor de \( x=2 \). Observa que \( f'(x)=-1\cdot x^{-2},\, f''(x)=(-1)(-2) x^{-3} \), y en general \( f^{(n)}(x)=(-1)\cdots(-n)x^{-n-1}=n!(-1)^n x^{-n-1} \), por tanto \( a_n=f^{(n)}(2)/n!=(-1)^n2^{-n-1} \).