Se me ocurrió releer este ejercicio que en su tiempo, no supe interpretar y no pude responder.
entiendo que lo que están pidiendo es calcular cuanto pesa el tubo lleno y sumergido, en relacion al tubo vacío al aire.
Primero depreciemos el peso del air en el interior del tubo, y el empuje que este genera, así su peso es
\( P=mg=\rho SLg=\rho_s (A_0-A_i)Lg \)
el empuje recibido en el seno del liquido es \( E= \rho_0 A_0Lg \)
ahora bien , cuando queremos averiguar el peso aparente el caño esta lleno entonces su nuevo peso es \( P_l=\rho_s (A_0-A_i)Lg+\rho_i A_i Lg \)
el peso aparente sería la tensión que tendría una cuerda que sostendría del caño sumergido evitando que acelere hacia el fondo.
\( P_{ap}=T=P_l-E \)
pero la presentación de los datos viene dado como un factor común basado en el peso vacío
\( P_{ap}=P\left(\dfrac{P_l-E}{P}\right) \) de donde por convención \( w_{aire}=P \) y \( P_{ap}=w_a \)
así
\( w_a=w_{aire}\left(\dfrac{P_l-E}{P}\right) \)
veamos si reemplazamos a que llegamos
\( w_a=w_{aire}\left(\dfrac{ \rho_s (A_0-A_i)Lg+\rho_i A_i Lg-\rho_0 A_0Lg}{\rho_s (A_0-A_i)Lg}\right) \)
simplificando
\( w_a=w_{aire}\left(\dfrac{ \rho_s (A_0-A_i)+\rho_i A_i -\rho_0 A_0}{\rho_s (A_0-A_i)}\right) \)
entonces si dividimos el numerador y denominador por \( \rho_s \) queda
\( w_a=w_{aire}\left(\dfrac{ (A_0-A_i)+\dfrac{\rho_i}{\rho_s} A_i -\dfrac{\rho_0}{\rho_s} A_0}{A_0-A_i}\right) \)
reordenando el numerador
\( w_a=w_{aire}\left[\dfrac{A_0\left(1-\dfrac{\rho_0}{\rho_s}\right)- A_i\left( 1-\dfrac{\rho_i}{\rho_s}\right)}{A_0-A_i}\right]\quad\therefore\quad cqd \)
