Autor Tema: Duda relacionada con el UTF para n=3

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14 Junio, 2019, 03:01 am
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Joseferm

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 Buenas tardes a todos.

En un paso  dado de una comprobación que estoy haciendo  llego a tener que demostrar que las las dos siguientes expresiones son incompatibles.

\( x^3 + y^3 = z^3 \)
\( k.x + k.y = z^3 \)

Me he quedado atascado y por más vueltas que le doy no consigo demostrar la imposibilidad de que se den simultáneamente ( y eso que a simple vista apesta a que no puede ser ).

Alguna idea ?

Gracias

14 Junio, 2019, 09:33 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

En un paso  dado de una comprobación que estoy haciendo  llego a tener que demostrar que las las dos siguientes expresiones son incompatibles.

\( x^3 + y^3 = z^3 \)
\( k.x + k.y = z^3 \)

Me he quedado atascado y por más vueltas que le doy no consigo demostrar la imposibilidad de que se den simultáneamente ( y eso que a simple vista apesta a que no puede ser ).

Supongo que todos los números implicados son enteros. Se tiene que:

\( x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2) \)

Por tanto:

\( x^3 + y^3 = z^3 \)

implica trivialmente que:

\( k(x+y)=z^3 \)

con \( k=x^2-xy+y^2 \).

Es decir demostrar que no es posible ese par de igualdades simultáneamente para enteros positivos es tan fácil o tan difícil como demostrar el Teorema de Fermat para \( n=3 \). Cualquier prueba de las conocidas para ese teorema demuestra tal imposibilidad.

Saludos.

14 Junio, 2019, 01:14 pm
Respuesta #2

Joseferm

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Gracias, Luis.

Me imaginaba que sería algo complicado.

Yo llegué a esa expresión   demostrando que en ternas con enteros positivos  \( x^p+y^p=z^p \) en los que el exponente \( p \) sea un impar primo, \( z \) no puede ser nunca primo . Es decir, no existen primos pitagóricos para exponente primo \( \geq{3} \).

También se llega en esa demostración a que  en determinados casos algunos exponentes impares , aun no siendo primos, si cumplen una determinada condición, tampoco permiten que \( z \) sea primo.

Esta demostración sí la tengo terminada, ( y revisada)  y creo que está bien. Lo que no sé es si esto ya se habrá  demostrado anteriormente o si  tiene alguna relación con el teorema se Sophie Germain. Si considerais  que puede tener algún interés la subo al foro.

Un saludo.

15 Junio, 2019, 09:06 pm
Respuesta #3

Fernando Moreno

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Hola Joseferm,

Yo llegué a esa expresión   demostrando que en ternas con enteros positivos  \( x^p+y^p=z^p \) en los que el exponente \( p \) sea un impar primo, \( z \) no puede ser nunca primo . Es decir, no existen primos pitagóricos para exponente primo \( \geq{3} \).

También se llega en esa demostración a que  en determinados casos algunos exponentes impares , aun no siendo primos, si cumplen una determinada condición, tampoco permiten que \( z \) sea primo.

Esta demostración sí la tengo terminada, ( y revisada)  y creo que está bien. Lo que no sé es si esto ya se habrá  demostrado anteriormente o si  tiene alguna relación con el teorema se Sophie Germain. Si considerais  que puede tener algún interés la subo al foro.

Sí tiene interés. Por eso existe esta Sección en el Foro y lo hace tan original. Ten en cuenta que los hay que sí quitarían con gusto esta Sección. Mi opinión es que debes subir una demostración como ésa al Foro y molestarte en escribirla bonita en Látex en un post. Yo no sé si seré capaz de valorarla, pero bueno, ahí estará. No te molestes si te digo que entiendo tus reticencias iniciales a subirla. Es un riesgo cierto. Por mucho que la creas cierta existe un 90% de posibilidades de que se encuentre un fallo troncal. Tú decides. No ponerla y vivir de la ilusión de que es verdadera (algunos lo hacen) o escribirla y conocer la verdad. Luego se dan otros casos. Los que la ponen, pero luego no admiten las críticas y alguno que la pone también pero no las entiende. Hay de todo, igual que en la vida.

Un saludo, 
An expert is a man who has made all the mistakes, which can be made, in a very narrow field. Niels Bohr

17 Junio, 2019, 11:52 am
Respuesta #4

Luis Fuentes

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Hola

Me imaginaba que sería algo complicado.

Yo llegué a esa expresión   demostrando que en ternas con enteros positivos  \( x^p+y^p=z^p \) en los que el exponente \( p \) sea un impar primo, \( z \) no puede ser nunca primo . Es decir, no existen primos pitagóricos para exponente primo \( \geq{3} \).

También se llega en esa demostración a que  en determinados casos algunos exponentes impares , aun no siendo primos, si cumplen una determinada condición, tampoco permiten que \( z \) sea primo.

Esta demostración sí la tengo terminada, ( y revisada)  y creo que está bien. Lo que no sé es si esto ya se habrá  demostrado anteriormente o si  tiene alguna relación con el teorema se Sophie Germain. Si considerais  que puede tener algún interés la subo al foro.

Ponla si quieres y la vemos. En principio la mera factorización:

\( z^p=x^p+y^p=(x+y)(x^{p-1}-x^{p-2}y+\ldots+y^{p-1}) \)

ya reduce la cuestión a un par de casos si \( z \) es primo.

Saludos.