Autor Tema: Verificar que la siguiente función es una función de probabilidad

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11 Junio, 2019, 07:37 pm
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megasaw

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Buenos días, me he topado con este ejercicio y de verdad que no sé cómo resolverlo, aunque tengo algunas ideas, dice así:
Una variable aleatoria \(  Y  \) se define para un entero positivo fijo \(  a, (a\geq{1})  \) cualquiera mediante:
\(  Pr(Y=k)=\frac{a}{k-1} - \frac{a}{k}  \) con \(  k=a+1,a+2,... \)
Se pide:
1. Verificar que es una función de probabilidad
2. Demuestre que \(  Pr(Y>k)=\frac{a}{k} \) para \( k=a,a+1,... \)
3. Fije un valor para el parámetro \(  a  \) y grafique la función de probabilidad.

Para el tercer ítem no creo tener ningún problema, pero son el primero y segundo los que me crean conflicto, vista la forma de la expresión empecé a descomponerla como una serie telescópica, pero no es una suma y no llegué muy lejos... ¿Podrían ayudarme?

11 Junio, 2019, 08:07 pm
Respuesta #1

geómetracat

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Para el 1) lo único que debes comprobar es que la suma de  las probabilidades para todos los puntos es \( 1 \).
Es decir, hay que ver que:
\( \displaystyle \sum_{k=a+1}^\infty Pr(Y=k) = \sum_{k=a+1}^\infty \left( \frac{a}{k-1} - \frac{a}{k} \right) = 1 \).
Para calcular la serie puedes usar que es telescópica.

El apartado 2) es parecido.
Se trata de calcular:
\( \displaystyle Pr(Y >k) = \sum_{i=k+1}^\infty \left( \frac{a}{i-1} - \frac{a}{i} \right)  \),
donde de nuevo puedes usar que es telescópica.
Otra manera de hacer el apartado es usar:
\( Pr(Y>k) = 1-Pr(Y \leq k) =1- \sum_{i=a+1}^k \left( \frac{a}{i-1} - \frac{a}{i} \right)  \).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

16 Junio, 2019, 07:08 pm
Respuesta #2

megasaw

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Para el 1) lo único que debes comprobar es que la suma de  las probabilidades para todos los puntos es \( 1 \).
Es decir, hay que ver que:
\( \displaystyle \sum_{k=a+1}^\infty Pr(Y=k) = \sum_{k=a+1}^\infty \left( \frac{a}{k-1} - \frac{a}{k} \right) = 1 \).
Para calcular la serie puedes usar que es telescópica.

El apartado 2) es parecido.
Se trata de calcular:
\( \displaystyle Pr(Y >k) = \sum_{i=k+1}^\infty \left( \frac{a}{i-1} - \frac{a}{i} \right)  \),
donde de nuevo puedes usar que es telescópica.
Otra manera de hacer el apartado es usar:
\( Pr(Y>k) = 1-Pr(Y \leq k) =1- \sum_{i=a+1}^k \left( \frac{a}{i-1} - \frac{a}{i} \right)  \).

Muchas gracias por tu ayuda.