Haciendolo desde el texto que mencionadas, llego a esto:
\( c_n=(-0.06159)(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n + (0.42205)(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n \)
Cuando me devuelvo para mirar algunos valores, estos no me dan exactos.
Es decir,
\( c_1=0.72 \) y al tomar la exponencial de ello, se obtiene: \( a_1=2.056 \) que no es exactamente ese dos, dado para \( a_1 \)
¿Cómo podría plantearlo con funciones generadoras?
Pero no te dará exacto porque has truncado los valores, ¿no? Usando funciones generatrices vas a hallar lo mismo, lo muestro. Definimos \( C(x):=\sum_{n\ge 0} c_{n+1} x^n \) y usamos la recurrencia equivalente \( c_{n+3}=c_{n+2}+c_{n+1} \), entonces tenemos que
\( \displaystyle {\begin{align*}&\sum_{n\ge 0}c_{n+3}x^n=\sum_{n\ge 0}c_{n+2}x^n+\sum_{n\ge 0}c_{n+1} x^n\\
\iff &x^{-2}\sum_{n\ge 0}c_{n+3}x^{n+2}=x^{-1}\sum_{n\ge 0}c_{n+2}x^{n+1}+C(x)\\
\iff &C(x)-c_1-c_2x=x(C(x)-c_1)+x^2C(x)\\
\iff &(x^2+x-1)C(x)=(x-1)c_1-xc_2\\
\iff &C(x)=\frac{(c_1-c_2)x-c_1}{x^2+x-1}=(\ln 2-\ln(2/3)x)\sum_{n\ge 0} F_{n+1} x^n\\
\iff& C(x)=\sum_{n\ge 0}(F_{n+1}\ln 2 -F_n\ln(2/3))x^n\end{align*}} \)
Ya que \( F(x)=\frac x{1-x-x^2} \) es la función generadora de la sucesión de Fibonacci. Entonces de la definición de \( C(x) \) y arreglando un poco tenemos que \( c_n=(F_n-F_{n-1})\ln 2+F_{n-1}\ln 3 \), y por tanto \( a_n=2^{F_n-F_{n-1}}3^{F_{n-1}}=2^{F_{n-2}}3^{F_{n-1}} \), donde podemos definir \( F_{-1}:=1 \).
Para completar, si quieres, puedes dar la definición explícita de los números de Fibonacci, es decir, \( F_n={\frac 1{{\sqrt 5}}}\left({\frac {1+{\sqrt 5}}2}\right)^{n}-{\frac 1{{\sqrt 5}}}\left({\frac {1-{\sqrt 5}}2}\right)^{n} \), pero te iba a quedar muy aparatoso.
P.D.: ahora que veo la sucesión de Fibonacci se puede definir para todo \( \Bbb Z \) con la fórmula \( F_{-n}=(-1)^{n+1}F_n \).
La forma compacta para los coeficientes \( c_n \) es
\( \displaystyle c_n=\frac1{\sqrt 5}\big(\ln(2\cdot 3^\alpha)\alpha^{n-2}-\ln(2\cdot 3^\beta)\beta^{n-2}\big),
\quad \alpha:=\frac12(1+\sqrt 5),\, \beta:=\frac12(1-\sqrt 5) \)
